(UFF) Se z=2i+1, o valor do módulo do quociente entre z e o seu conjugado é:

Passo 1

Beleza! A gente tem o número complexo e precisa encontrar o módulo do quociente entre e o seu conjugado. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, conjugados e módulo, além de saber como fazer operações com eles.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o conjugado de z = 1 - 2i . O conjugado de um número complexo é . Então, para :

Passo 3

Agora, vamos calcular o quociente zz = 1 + 2i1 - 2i . Substituindo os valores que temos:

Passo 4

Para simplificar esse quociente, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é 1 + 2i1 - 2i times 1 + 2i1 + 2i = (1 + 2i)^2(1)^2 - (2i)^2 . Isso ajuda a eliminar a parte imaginária no denominador:

Passo 5

Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente. Primeiro, o numerador:
(1 + 2i)^2 = 1^2 + 2 times 1 times 2i + (2i)^2 = 1 + 4i + 4i^2
Sabendo que 1 + 4i + 4(-1) = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i :
1 - (2i)^2 = 1 - 4i^2 = 1 - 4(-1) = 1 + 4 = 5
Agora, o denominador:

Passo 6

Então, o quociente fica:
-3 + 4i5 = -35 + 45i

Passo 7

Agora, vamos encontrar o módulo desse número complexo. O módulo de |a + bi| = raiza^2 + b^2 é dado por:
| -35 + 45i | = raiz( -35 )^2 + ( 45 )^2 = raiz925 + 1625 = raiz2525 = raiz1 = 1
Aplicando isso:

Resposta

O módulo do quociente entre e seu conjugado é .

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