Sejam A e B matrizes quadradas simétricas de ordem n. Mostre que:
é simétrica para toda matriz quadrada
de ordem
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas simétricas,
e
, de ordem
. Mas o foco aqui é mostrar que, para qualquer matriz quadrada
de ordem
, a matriz
também é simétrica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser simétrica e como as operações de transposição funcionam com multiplicação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz
é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja,
. Isso significa que o elemento na posição
é igual ao elemento na posição
para todos os
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão
. Queremos mostrar que essa matriz é simétrica, ou seja, que
.
Passo 4
Vamos calcular a transposta da matriz
. Usando as propriedades da transposta, sabemos que
. Aplicando isso:
Passo 5
Sabemos que
é simétrica, então
. Além disso, a transposta da transposta de
é
, ou seja,
. Substituindo essas igualdades na expressão anterior:
Passo 6
Vimos que a transposta de
é igual a
mesmo. Isso satisfaz a definição de uma matriz simétrica, já que a matriz é igual à sua própria transposta.
Resposta
Portanto, mostramos que
é uma matriz simétrica para qualquer matriz quadrada
de ordem
.
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Considere as matrizes:
Desenvolvimento de cinética heterogênea (adsorção, reação na superfície, e dessorção) conforme a etapa controladora:
, reação na superfície controla
Para todo
, considere a matriz:
Mostre que:
Resolva o seguinte sistema linear