Sejam A e B pontos distintos de E^3. É verdade que (A, B) e (B, A) são equipolentes? Em caso negativo, sob quais condições a resposta é afirmativa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta se, dados dois pontos distintos e no espaço tridimensional , os pares ordenados e são equipolentes. Equipolentes, nesse contexto, geralmente significa que eles têm a mesma “forma” ou “tamanho”. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pares ordenados e o que significa ser equipolente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são pares ordenados. Um par ordenado é simplesmente uma sequência onde a ordem importa: o primeiro elemento é e o segundo é . Já inverte essa ordem.
Equipolência, no contexto geométrico, geralmente se refere a duas figuras que têm a mesma forma e tamanho, ou seja, são congruentes.

Passo 3

Agora, precisamos analisar se e são equipolentes. Como a ordem dos pontos importa nos pares ordenados, normalmente não seria considerado igual a . No entanto, se considerarmos a distância entre e , essa distância é a mesma em ambos os pares.

Passo 4

Porém, a equipolência também considera a orientação. No espaço tridimensional, a orientação dos pontos pode mudar quando a ordem é invertida. Portanto, e não são equipolentes em geral porque a orientação é diferente.

Passo 5

Entretanto, se houver uma condição adicional onde a orientação não importa, ou seja, se estivermos apenas interessados na distância entre os pontos e não na ordem, então e poderiam ser considerados equipolentes.

Resposta

Não, e não são equipolentes em geral. Porém, se a orientação não for levada em conta e apenas a distância entre e for considerada, então os pares podem ser considerados equipolentes.

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