Sejam e , vetores. Ache fórmula para em função de |u| eang(u, v). Como ficaria em função de |v| e u bul<=t v ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, e que não são o vetor zero. A questão pede pra encontrar uma fórmula para em função da norma de e do ângulo entre e . Além disso, também queremos expressar isso em termos da norma de e do produto interno . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre projeção de vetores, normas e ângulos entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a projeção de um vetor projv u = ( u cdot v|v|^2 ) v sobre outro vetor . A projeção de em é dada por:
Aqui, é o produto interno dos vetores.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a norma de |u - projv u| = raiz|u|^2 - |projv u|^2 . Essa expressão representa a componente de que é perpendicular a . A norma desse vetor pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras no contexto de vetores:
Passo 4
Vamos calcular |projv u| = | ( u cdot v|v|^2 ) v | = |u cdot v||v| . Usando a fórmula da projeção:
Isso porque a norma de um vetor escalar multiplicado por outro vetor é o valor absoluto do escalar vezes a norma do vetor.
Passo 5
Substituindo |u - projv u| = raiz|u|^2 - ( u cdot v|v| )^2 na expressão anterior:
Essa é a fórmula em termos de e .
Passo 6
Agora, vamos relacionar isso com o ângulo entre u cdot v = |u| |v| cos(theta) e |u - projv u| = raiz|u|^2 - ( |u| |v| cos(theta)|v| )^2 = raiz|u|^2 - |u|^2 cos^2(theta) = |u| sin(theta) . Sabemos que:
onde é o ângulo entre os vetores. Substituindo isso na expressão da norma: