Sejam u e v neq 0, vetores. Ache fórmula para |u-projv u| em função de |u| e ang(u, v). Como ficaria em função de |v| e u bul<=t v ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, e que não são o vetor zero. A questão pede pra encontrar uma fórmula para em função da norma de e do ângulo entre e . Além disso, também queremos expressar isso em termos da norma de e do produto interno . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre projeção de vetores, normas e ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a projeção de um vetor projv u = ( u cdot v|v|^2 ) v sobre outro vetor . A projeção de em é dada por:
Aqui, é o produto interno dos vetores.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a norma de |u - projv u| = raiz|u|^2 - |projv u|^2 . Essa expressão representa a componente de que é perpendicular a . A norma desse vetor pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras no contexto de vetores:

Passo 4

Vamos calcular |projv u| = | ( u cdot v|v|^2 ) v | = |u cdot v||v| . Usando a fórmula da projeção:
Isso porque a norma de um vetor escalar multiplicado por outro vetor é o valor absoluto do escalar vezes a norma do vetor.

Passo 5

Substituindo |u - projv u| = raiz|u|^2 - ( u cdot v|v| )^2 na expressão anterior:
Essa é a fórmula em termos de e .

Passo 6

Agora, vamos relacionar isso com o ângulo entre u cdot v = |u| |v| cos(theta) e |u - projv u| = raiz|u|^2 - ( |u| |v| cos(theta)|v| )^2 = raiz|u|^2 - |u|^2 cos^2(theta) = |u| sin(theta) . Sabemos que:
onde é o ângulo entre os vetores. Substituindo isso na expressão da norma:
Aqui usamos a identidade trigonométrica .

Resposta

|u - projv u| = |u| sin(theta)
e
|u - projv u| = raiz, |u|^2 - ( dfracu cdot v|v| )^2 ,

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Sejam u=(raiz3, 1) e v=(1, k). Determinar o valor de k para que:
(3) a medida angular entre u e v seja de pi6.
Dados os vetores u=(1,-1) e v=(-3,4), calcular:
(4) |2 u-v|
Sejam u e v, vetores. Mostre que:
(3) |u+v|^2-|u-v|^2=4(u bul<=t v).
Sejam O, A e B três pontos não-alinhados, u=O A, v=O B e b=u|u|+v|v|. Mostre que o vetor b é paralelo à bissetriz do ângulo A widehatO B.