Sejam u e v, vetores. Mostre que:
(3) |u+v|^2-|u-v|^2=4(u bul<=t v).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado. Temos dois vetores, u e v, e precisamos provar que |u+v|^2 - |u-v|^2 = 4(u bul<=t v). Para resolver isso, vamos usar propriedades de vetores, como a definição de norma e produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor |a| é igual à raiz quadrada do produto interno de a consigo mesmo, ou seja, |a| = raiza bul<=t a. Assim, ao elevar ao quadrado, temos |a|^2 = a bul<=t a.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos vetores u + v e u - v. Calculando cada norma ao quadrado:
|u + v|^2 = (u + v) bul<=t (u + v)
|u - v|^2 = (u - v) bul<=t (u - v)

Passo 4

Agora, vamos expandir os produtos internos usando a propriedade distributiva:
(u + v) bul<=t (u + v) = u bul<=t u + u bul<=t v + v bul<=t u + v bul<=t v
(u - v) bul<=t (u - v) = u bul<=t u - u bul<=t v - v bul<=t u + v bul<=t v
Como o produto interno é comutativo ( u bul<=t v = v bul<=t u), podemos simplificar:
|u + v|^2 = u bul<=t u + 2(u bul<=t v) + v bul<=t v
|u - v|^2 = u bul<=t u - 2(u bul<=t v) + v bul<=t v

Passo 5

Agora, vamos calcular a diferença entre essas duas expressões:
|u + v|^2 - |u - v|^2 = [u bul<=t u + 2(u bul<=t v) + v bul<=t v] - [u bul<=t u - 2(u bul<=t v) + v bul<=t v]
Simplificando:
|u + v|^2 - |u - v|^2 = 4(u bul<=t v)

Resposta

Portanto, |u+v|^2 - |u-v|^2 = 4(u bul<=t v).

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