Sejam
e
, vetores. Mostre que:
(3)
.
(3)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado. Temos dois vetores,
e
, e precisamos provar que
. Para resolver isso, vamos usar propriedades de vetores, como a definição de norma e produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor
é igual à raiz quadrada do produto interno de
consigo mesmo, ou seja,
. Assim, ao elevar ao quadrado, temos
.
Passo 3
Vamos aplicar isso aos vetores
e
. Calculando cada norma ao quadrado:
Passo 4
Agora, vamos expandir os produtos internos usando a propriedade distributiva:
Como o produto interno é comutativo (
), podemos simplificar:
Passo 5
Agora, vamos calcular a diferença entre essas duas expressões:
Simplificando:
Resposta
Portanto,
.