Sejam e bases de , onde
(a) Determine a matriz de mudança de base de para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrarmos a matriz de mudança de base que converte coordenadas de uma base para outra base no espaço . A gente vai precisar entender o que é uma base, como representar vetores nessas bases e como construir essa matriz de mudança.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são bases. Uma base de é um conjunto de dois vetores que são linearmente independentes, ou seja, nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. No nosso caso:

Passo 3

A matriz de mudança de base serve para converter as coordenadas de um vetor representado na base para as coordenadas na base . Para construir essa matriz, precisamos expressar cada vetor da base em termos da base .

Passo 4

Vamos denotar um vetor com coordenadas na base . Queremos encontrar . Para isso, vamos escrever cada (da base ) como combinação linear dos vetores da base :
Os coeficientes serão os elementos da matriz .

Passo 5

Vamos resolver para primeiro:
Isso dá o sistema de equações:
Da segunda equação, já temos . Substituindo na primeira:
Então, para , os coeficientes são e .

Passo 6

Agora, vamos resolver para :
Isso nos dá:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, para , os coeficientes são e .

Passo 7

Com os coeficientes encontrados, podemos montar a matriz de mudança de base . Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes de e em termos de :

Resposta

A matriz de mudança de base de para é:

Exercícios relacionados

Qual é a derivada da função ?
a)
b)
c)
d)
Sejam e o espaço e , uma transformação linear que, ao ser aplicada na base canônica, resulta em:
Podemos afirmar que é igual a:
a)
b)
c)
d)
Verifique se o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial :
(a)
Sejam e vetores quaisquer de . Mostre que os vetores
são linearmente dependentes exibindo explicitamente uma combinação linear nula (não trivial) entre e .