Sejam B=u1, u2 e B^prime=w1, w2 bases de R^2, onde
u1=(-1,2), u2=(2,-1), w1=(1,0), w2=(1,1)
(a) Determine a matriz de mudança de base MB^prime^B de B para B^prime.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrarmos a matriz de mudança de base que converte coordenadas de uma base para outra base no espaço . A gente vai precisar entender o que é uma base, como representar vetores nessas bases e como construir essa matriz de mudança.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são bases. Uma base de B = u1, u2 onde u1=(-1,2), u2=(2,-1) é um conjunto de dois vetores que são linearmente independentes, ou seja, nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. No nosso caso:
B^prime = w1, w2 onde w1=(1,0), w2=(1,1)

Passo 3

A matriz de mudança de base serve para converter as coordenadas de um vetor representado na base para as coordenadas na base . Para construir essa matriz, precisamos expressar cada vetor da base em termos da base .

Passo 4

Vamos denotar um vetor u1 = a11w1 + a12w2 com coordenadas u2 = a21w1 + a22w2 na base . Queremos encontrar . Para isso, vamos escrever cada (da base ) como combinação linear dos vetores da base :
Os coeficientes serão os elementos da matriz .

Passo 5

Vamos resolver para (-1, 2) = a11(1,0) + a12(1,1) primeiro:
1a11 + 1a12 = -1 0a11 + 1a12 = 2
Isso dá o sistema de equações:
a11 + 2 = -1 Rightarrow a11 = -3
Da segunda equação, já temos . Substituindo na primeira:
Então, para , os coeficientes são e .

Passo 6

Agora, vamos resolver para (2, -1) = a21(1,0) + a22(1,1) :
1a21 + 1a22 = 2 0a21 + 1a22 = -1
Isso nos dá:
a21 + (-1) = 2 Rightarrow a21 = 3
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, para , os coeficientes são e .

Passo 7

Com os coeficientes encontrados, podemos montar a matriz de mudança de base MB^prime^B = a11 & a21 a12 & a22 = -3 & 3 2 & -1 . Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes de e em termos de :

Resposta

A matriz de mudança de base MB^prime^B = -3 & 3 2 & -1 de para é:

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