Sejam
e
bases de
, onde
(a) Determine a matriz de mudança de base
de
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrarmos a matriz de mudança de base
que converte coordenadas de uma base
para outra base
no espaço
. A gente vai precisar entender o que é uma base, como representar vetores nessas bases e como construir essa matriz de mudança.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são bases. Uma base de
é um conjunto de dois vetores que são linearmente independentes, ou seja, nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. No nosso caso:
Passo 3
A matriz de mudança de base
serve para converter as coordenadas de um vetor representado na base
para as coordenadas na base
. Para construir essa matriz, precisamos expressar cada vetor da base
em termos da base
.
Passo 4
Vamos denotar um vetor
com coordenadas
na base
. Queremos encontrar
. Para isso, vamos escrever cada
(da base
) como combinação linear dos vetores da base
:
Os coeficientes
serão os elementos da matriz
.
Passo 5
Vamos resolver para
primeiro:
Isso dá o sistema de equações:
Da segunda equação, já temos
. Substituindo na primeira:
Então, para
, os coeficientes são
e
.
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Isso nos dá:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira:
Então, para
, os coeficientes são
e
.
Passo 7
Com os coeficientes encontrados, podemos montar a matriz de mudança de base
. Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes de
e
em termos de
:
Resposta
A matriz de mudança de base
de
para
é: