Verifique se o subconjunto W é um subespaço do espaço vetorial V :
(a) W=(x, y) in R^2: y=-x, V=R^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto é um subespaço do espaço vetorial . Isso envolve entender um pouco sobre subespaços vetoriais e as condições que eles precisam cumprir para serem considerados como tal.

Passo 2

Primeiro, precisamos conferir se o vetor zero está em 0 = -0 Rightarrow 0 = 0 . O vetor zero em é . Substituindo na equação :
Isso confirma que o vetor zero pertence a .

Passo 3

Agora, vamos verificar se y1 = -x1 e y2 = -x2 é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em y1 + y2 = -x1 - x2 = -(x1 + x2) , a soma deles também deve estar em .
Sejam e em . Então, temos:
A soma . Vamos verificar se :
Então, a soma também pertence a .

Passo 4

Por fim, precisamos checar se y = -x é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se multiplicarmos qualquer vetor em c cdot y = c cdot (-x) Rightarrow (c cdot y) = -(c cdot x) por um escalar , o resultado também deve estar em .
Seja em e um escalar. Então:
Multiplicando por :
Então, o vetor também satisfaz a equação , pertencendo a .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que é um subespaço do espaço vetorial .

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