Verifique se a função dada é um produto interno.
c. lang<=rang<=:, R^3 R^3, lang<=(x1, y1, z1),(x2, y2, z2)rang<==x1^2 x2^2+y1^2 y2^2+z1^2 z2^2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para a gente verificar se uma função dada é um produto interno. A matéria que estamos lidando é “Álgebras Lineares” e, especificamente, vamos precisar entender o que é um produto interno e quais são as propriedades que ele deve satisfazer para ser considerado válido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial, como , é uma função que associa a cada par de vetores um número real, e essa função precisa satisfazer algumas propriedades básicas: positividade, linearidade em cada argumento e simetria.

Passo 3

Vamos listar as propriedades que precisamos verificar para confirmar se a função dada é um produto interno:
  1. Positividade: Para todo vetor , , e se e somente se é o vetor zero.
  2. Linearidade: A função deve ser linear em cada um dos seus argumentos. Isso significa que, para todo vetor , , e , e para todo escalar :
  3. Simetria: Para todos os vetores e ,

Passo 4

Vamos verificar a simetria primeiro, já que parece mais simples. A função dada é:
lang<= (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) rang<= = x1^2 x2^2 + y1^2 y2^2 + z1^2 z2^2
Vamos trocar os vetores:
lang<= (x2, y2, z2), (x1, y1, z1) rang<= = x2^2 x1^2 + y2^2 y1^2 + z2^2 z1^2
Como a multiplicação é comutativa ( lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<= , etc.), concluímos que:
Então, a propriedade de simetria é satisfeita.

Passo 5

Agora, vamos verificar a linearidade. Vamos testar se a função é linear no primeiro argumento. Seja lang<= u + v, w rang<= = lang<= u, w rang<= + lang<= v, w rang<= , lang<= u + v, w rang<= = lang<= (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2), (x3, y3, z3) rang<= = (x1 + x2)^2x3^2 + (y1 + y2)^2y3^2 + (z1 + z2)^2z3^2 , e = x1^2x3^2 + 2x1x2x3^2 + x2^2x3^2 + y1^2y3^2 + 2y1y2y3^2 + y2^2y3^2 + z1^2z3^2 + 2z1z2z3^2 + z2^2z3^2 . Vamos verificar se:
lang<= u, w rang<= + lang<= v, w rang<= = x1^2x3^2 + y1^2y3^2 + z1^2z3^2 + x2^2x3^2 + y2^2y3^2 + z2^2z3^2
Calculando o lado esquerdo:
lang<= u + v, w rang<= neq lang<= u, w rang<= + lang<= v, w rang<=
Expandindo, temos termos quadráticos que não aparecem no lado direito:
Agora, o lado direito:
Comparando ambos, vemos que os termos , , e estão presentes no lado esquerdo, mas não no lado direito. Isso significa que:
Portanto, a função não é linear no primeiro argumento.

Passo 6

Como a função não satisfaz a propriedade de linearidade, já podemos concluir que ela não é um produto interno. Não precisamos verificar a positividade, já que uma das propriedades fundamentais já não é atendida.

Resposta

A função dada não é um produto interno, pois não satisfaz a propriedade de linearidade necessária.

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