Verifique se a função dada é um produto interno.
c. .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para a gente verificar se uma função dada é um produto interno. A matéria que estamos lidando é “Álgebras Lineares” e, especificamente, vamos precisar entender o que é um produto interno e quais são as propriedades que ele deve satisfazer para ser considerado válido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial, como , é uma função que associa a cada par de vetores um número real, e essa função precisa satisfazer algumas propriedades básicas: positividade, linearidade em cada argumento e simetria.
Passo 3
Vamos listar as propriedades que precisamos verificar para confirmar se a função dada é um produto interno:
Positividade: Para todo vetor , , e se e somente se é o vetor zero.
Linearidade: A função deve ser linear em cada um dos seus argumentos. Isso significa que, para todo vetor , , e , e para todo escalar :
Simetria: Para todos os vetores e ,
Passo 4
Vamos verificar a simetria primeiro, já que parece mais simples. A função dada é:
Vamos trocar os vetores:
Como a multiplicação é comutativa (, etc.), concluímos que:
Então, a propriedade de simetria é satisfeita.
Passo 5
Agora, vamos verificar a linearidade. Vamos testar se a função é linear no primeiro argumento. Seja , , e . Vamos verificar se:
Calculando o lado esquerdo:
Expandindo, temos termos quadráticos que não aparecem no lado direito:
Agora, o lado direito:
Comparando ambos, vemos que os termos , , e estão presentes no lado esquerdo, mas não no lado direito. Isso significa que:
Portanto, a função não é linear no primeiro argumento.
Passo 6
Como a função não satisfaz a propriedade de linearidade, já podemos concluir que ela não é um produto interno. Não precisamos verificar a positividade, já que uma das propriedades fundamentais já não é atendida.
Resposta
A função dada não é um produto interno, pois não satisfaz a propriedade de linearidade necessária.