Use substituição trigonométrica e calcule as integrais:
(h)
Passo 1
Então, temos que resolver a integral . Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais usando substituição trigonométrica, que é uma técnica útil para integrar funções que envolvem expressões quadráticas sob raízes. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer uma substituição adequada e aplicar identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz é , que se parece com , onde . Para integrais desse tipo, usamos a substituição trigonométrica . Assim, fazemos:
Passo 3
Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Passo 4
Substituímos e na integral original:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a raiz fica:
Passo 5
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
A integral de é bem conhecida:
Passo 7
Agora, voltamos à variável original . Sabemos que , então:
Passo 8
Substituindo de volta na solução da integral:
Podemos simplificar omitindo o denominador dentro do logaritmo, já que a constante ln |x + raizx^2 - 4| + C vai absorver qualquer constante multiplicativa:
Resposta
integral 1raizx^2-4 , dx = ln |x + raizx^2 - 4| + C