Use substituição trigonométrica e calcule as integrais:
(h) integral 1raizx^2-4 d x

Passo 1

Então, temos que resolver a integral . Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais usando substituição trigonométrica, que é uma técnica útil para integrar funções que envolvem expressões quadráticas sob raízes. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer uma substituição adequada e aplicar identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz é x = 2 sectheta , que se parece com , onde . Para integrais desse tipo, usamos a substituição trigonométrica . Assim, fazemos:

Passo 3

Agora, vamos derivar dx = 2 sectheta tantheta , dtheta em relação a para encontrar :

Passo 4

Substituímos integral 1raiz(2 sectheta)^2 - 4 cdot 2 sectheta tantheta , dtheta e (2 sectheta)^2 - 4 = 4 sec^2theta - 4 = 4 (sec^2theta - 1) = 4 tan^2theta na integral original:
raiz4 tan^2theta = 2 tantheta
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a raiz fica:

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
integral 12 tantheta cdot 2 sectheta tantheta , dtheta = integral sectheta , dtheta

Passo 6

A integral de integral sectheta , dtheta = ln |sectheta + tantheta| + C é bem conhecida:

Passo 7

Agora, voltamos à variável original sectheta = x2 e tantheta = raizsec^2theta - 1 = raiz(x2)^2 - 1 = raizx^2 - 42 . Sabemos que , então:

Passo 8

Substituindo de volta na solução da integral:
ln |x2 + raizx^2 - 42| + C = ln |x + raizx^2 - 42| + C
Podemos simplificar omitindo o denominador dentro do logaritmo, já que a constante ln |x + raizx^2 - 4| + C vai absorver qualquer constante multiplicativa:

Resposta

integral 1raizx^2-4 , dx = ln |x + raizx^2 - 4| + C

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