Use substituição trigonométrica e calcule as integrais:
(l) -1/4 x(4 - x^2)^(3/2) + 1/2 x raiz(4 - x^2) + 2 arcsen(x / 2) + C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular uma integral usando substituição trigonométrica. A expressão que vamos trabalhar é:
O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais que possuem raízes quadradas de expressões quadráticas, o que é perfeito para a substituição trigonométrica. Vamos precisar usar identidades trigonométricas básicas e entender como fazer a substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, identificamos a parte da expressão que sugere uma substituição trigonométrica. Temos , o que se encaixa na forma . Para lidar com isso, usamos a substituição:
Aqui, , então:
Essa substituição vai nos ajudar a simplificar a raiz quadrada.

Passo 3

Agora, vamos encontrar em termos de . Derivando em relação a :
Também, substituindo na expressão :

Passo 4

Vamos agora substituir todas as ocorrências de e na integral original:
Substituindo e :
Simplificando:
Calculando :
Então, a expressão fica:
Simplificando mais:

Passo 5

Agora, precisamos integrar essa expressão em termos de . Vamos integrar termo a termo:
Para integrar , observamos que podemos usar uma substituição simples:
Então,
Para integrar :
E para integrar :
Então, a integral total em termos de é:

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que:
E também:
Substituindo e na nossa integral:
Simplificando:
Para combinar os termos, multiplicamos e simplificamos:

Resposta

Assim, a integral calculada usando substituição trigonométrica é:

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