Use substituição trigonométrica e calcule as integrais:
(l)
.
(l)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular uma integral usando substituição trigonométrica. A expressão que vamos trabalhar é:
O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais que possuem raízes quadradas de expressões quadráticas, o que é perfeito para a substituição trigonométrica. Vamos precisar usar identidades trigonométricas básicas e entender como fazer a substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, identificamos a parte da expressão que sugere uma substituição trigonométrica. Temos
, o que se encaixa na forma
. Para lidar com isso, usamos a substituição:
Aqui,
, então:
Essa substituição vai nos ajudar a simplificar a raiz quadrada.
Passo 3
Agora, vamos encontrar
em termos de
. Derivando
em relação a
:
Também, substituindo
na expressão
:
Passo 4
Vamos agora substituir todas as ocorrências de
e
na integral original:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Calculando
:
Então, a expressão fica:
Simplificando mais:
Passo 5
Agora, precisamos integrar essa expressão em termos de
. Vamos integrar termo a termo:
Para integrar
, observamos que podemos usar uma substituição simples:
Então,
Para integrar
:
E para integrar
:
Então, a integral total em termos de
é:
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que:
E também:
Substituindo
e
na nossa integral:
Simplificando:
Para combinar os termos, multiplicamos e simplificamos:
Resposta
Assim, a integral calculada usando substituição trigonométrica é: