Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente: sumn=1^infty ln (n)n^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teste da Integral e calcular uma integral que nos ajude a chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Para usar esse teste, precisamos verificar se a função é positiva, contínua e decrescente para .

Passo 3

Vamos verificar essas propriedades:
  • Positiva: f'(x) = 1/x cdot x^3 - ln(x) cdot 3x^2x^6 = x^2 - 3x^2ln(x)x^6 = 1 - 3ln(x)x^4 é positiva para e é sempre positivo para , então para .
  • Contínua: A função é contínua para .
  • Decrescente: Para verificar se a função é decrescente, vamos derivar e ver se a derivada é negativa: Para , é negativo, então e a função é decrescente.

Passo 4

Agora que verificamos que integral1^infty ln(x)x^3 , dx atende aos critérios do Teste da Integral, vamos calcular a integral imprópria correspondente:
integral ln(x)x^3 , dx = -ln(x)2x^2 + integral 12x^3 , dx = -ln(x)2x^2 - 14x^2 + C
Para resolver essa integral, podemos usar a integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 5

Agora, vamos avaliar a integral de 1 a [ -ln(x)2x^2 - 14x^2 ]1^infty :
-ln(1)2(1)^2 - 14(1)^2 = 0 - 14 = -14
Para , e . Em :
Portanto, a integral converge para .

Resposta

Como a integral converge, pelo Teste da Integral, a série é convergente.

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