Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teste da Integral e calcular uma integral que nos ajude a chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Para usar esse teste, precisamos verificar se a função é positiva, contínua e decrescente para .

Passo 3

Vamos verificar essas propriedades:
  • Positiva: é positiva para e é sempre positivo para , então para .
  • Contínua: A função é contínua para .
  • Decrescente: Para verificar se a função é decrescente, vamos derivar e ver se a derivada é negativa: Para , é negativo, então e a função é decrescente.

Passo 4

Agora que verificamos que atende aos critérios do Teste da Integral, vamos calcular a integral imprópria correspondente:
Para resolver essa integral, podemos usar a integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 5

Agora, vamos avaliar a integral de 1 a :
Para , e . Em :
Portanto, a integral converge para .

Resposta

Como a integral converge, pelo Teste da Integral, a série é convergente.

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(d)
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(d)
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(a)
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(f)