Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar o Teste da Integral para determinar se a série
é convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teste da Integral e calcular uma integral que nos ajude a chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Para usar esse teste, precisamos verificar se a função
é positiva, contínua e decrescente para
.
Passo 3
Vamos verificar essas propriedades:
- Positiva:
é positiva para e é sempre positivo para , então para . - Contínua: A função
é contínua para . - Decrescente: Para verificar se a função é decrescente, vamos derivar
e ver se a derivada é negativa: Para , é negativo, então e a função é decrescente.
Passo 4
Agora que verificamos que
atende aos critérios do Teste da Integral, vamos calcular a integral imprópria correspondente:
Para resolver essa integral, podemos usar a integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a integral de 1 a
:
Para
,
e
. Em
:
Portanto, a integral converge para
.
Resposta
Como a integral
converge, pelo Teste da Integral, a série
é convergente.
Exercícios relacionados
Sejam os conjuntos
e
determine, caso possível (caso não seja possível justifique) os conjuntos complementares de
e
em relação a:
(d)
(d)
Sejam os conjuntos
e
, determine:
(d)
(d)
Para as expressões do tipo
abaixo, determine a expressão
:
(a)
(a)
Para as expressões do tipo
abaixo, determine a expressão
:
(f)
(f)