Sejam f, g: R R e a in R um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma f(x)+g(x) no ponto x0 :
(f+g)^prime(x0)=f^prime(x0)+g^prime(x0)
(b) Derivada da função a f(x) :
(a f)^prime(x0)=a f^prime(x0)
© Derivada do produto f(x) g(x) no ponto x0 :
(f g)^prime(x0)=f(x0) g^prime(x0)+f^prime(x0) g(x0)
(d) Derivada do quociente f(x) / g(x) no ponto x0 :
(f / g)^prime(x0)=g(x0) f^prime(x0)-f(x0) g^prime(x0)g(x0)^2
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se f(x)=sen(x), temos f^prime(x0)=cos (x0);
(b) se f(x)=cos (x), temos f^prime(x0)=-sen(x0);
© se f(x)=tg(x) (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
f(x)=(sen(x))^2, x0=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisamos encontrar a derivada dessa função no ponto . Vou te mostrar como fazer isso usando as regras de derivação que a gente aprendeu, como a regra do produto e as derivadas das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual regra de derivação vamos usar. A função pode ser escrita como o produto de por ela mesma, ou seja:
Então, vamos aplicar a regra do produto para derivar essa função. A regra do produto diz que se temos duas funções f(x) = sen(x) cdot sen(x) e (u cdot v)' = u' cdot v + u cdot v' , a derivada do produto delas é:

Passo 3

Aplicando a regra do produto na nossa função:
Agora, precisamos lembrar das derivadas das funções trigonométricas:
  • A derivada de é f'(x) = (sen(x))' cdot sen(x) + sen(x) cdot (sen(x))' .
Substituindo essas derivadas na expressão:
Isso dá:

Passo 4

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto f'(0) = 2 sen(0) cos(0) :
Sabemos que:
  • f'(0) = 2 cdot 0 cdot 1 = 0
Substituindo esses valores:

Resposta

A derivada de no ponto é 0.

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