Sejam
e
dois dígitos, isto é,
. Mostre que
Em particular,
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois dígitos,
e
, onde cada um pode ser qualquer número de 0 a 9. O exercício quer que mostremos que o número decimal periódico
é igual a
. Além disso, ele nos dá um exemplo específico:
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como converter um decimal periódico em uma fração. Vamos fazer isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos representar o número periódico
como uma variável. Vamos chamar esse número de
:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar
por 100. Por que 100? Porque o período (a sequência que se repete) tem 2 dígitos (a e b). Multiplicar por 100 desloca a vírgula duas casas para a direita:
Observe que
é igual a
, já que a parte decimal continua sendo
.
Passo 4
Vamos escrever a equação que obtivemos:
Agora, queremos isolar
. Para isso, subtraímos
de ambos os lados da equação:
Passo 5
Para encontrar
, dividimos ambos os lados da equação por 99:
Isso mostra que o número decimal periódico
é igual a
.
Resposta
Portanto, mostramos que
E, especificamente,
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se
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