Sejam a e b dois dígitos, isto é, a, b pertencem a {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Mostre que
0, a b a b a b a b ... = ab / 99
Em particular, 0,99999999... = 1.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois dígitos, e , onde cada um pode ser qualquer número de 0 a 9. O exercício quer que mostremos que o número decimal periódico é igual a . Além disso, ele nos dá um exemplo específico: .
Para resolver isso, vamos precisar entender como converter um decimal periódico em uma fração. Vamos fazer isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos representar o número periódico como uma variável. Vamos chamar esse número de :

Passo 3

Agora, vamos multiplicar por 100. Por que 100? Porque o período (a sequência que se repete) tem 2 dígitos (a e b). Multiplicar por 100 desloca a vírgula duas casas para a direita:
Observe que é igual a , já que a parte decimal continua sendo .

Passo 4

Vamos escrever a equação que obtivemos:
Agora, queremos isolar . Para isso, subtraímos de ambos os lados da equação:

Passo 5

Para encontrar , dividimos ambos os lados da equação por 99:
Isso mostra que o número decimal periódico é igual a .

Resposta

Portanto, mostramos que
E, especificamente,

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