Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=1^infty n^23^n

Passo 1

Neste exercício, vamos verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o conteúdo sobre séries infinitas e aplicar o Teste da Razão.

Passo 2

O Teste da Razão é uma ferramenta que nos ajuda a determinar a convergência de uma série. Ele funciona calculando o limite . Dependendo do resultado desse limite:
  • Se for menor que 1, a série converge.
  • Se for maior que 1, a série diverge.
  • Se for igual a 1, o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série:
an+1an = (n+1)^23^n+1 cdot 3^nn^2 = (n+1)^23 cdot n^2

Passo 4

Agora, calculamos o limite quando limn to infty (n+1)^23 cdot n^2 = limn to infty n^2 + 2n + 13n^2 = 13 tende ao infinito:

Resposta

Como o limite é , que é menor que 1, a série converge.

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