Qual é o valor de se

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir o valor de tal que a soma da série infinita seja igual a 2. A matéria envolvida aqui é séries geométricas, que são somas de termos que têm uma razão constante entre eles. Vamos precisar lembrar como funciona a soma de uma série geométrica infinita para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série que temos aqui. A série é . Isso é uma série geométrica onde cada termo é . A forma geral de uma série geométrica infinita é , onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 3

No nosso caso, podemos reescrever a série começando de para facilitar. Se fizermos isso, teremos:
Sabemos que a soma dessa série completa deve ser igual a .

Passo 4

Agora, vamos lembrar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
onde é a soma, é o primeiro termo, e é a razão. No nosso caso, e .

Passo 5

Aplicando a fórmula:
Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 6

Primeiro, simplificamos o denominador:
Então, a equação fica:

Passo 7

Agora, multiplicamos ambos os lados por :
Subtraindo de ambos os lados:
Então,

Resposta

O valor de é .

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Sejam e dois dígitos, isto é, . Mostre que
Em particular, .
Teste a convergência ou divergência das séries.
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