Qual é o valor de c se
sumn=1^infty(1+c)^-n=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir o valor de tal que a soma da série infinita seja igual a 2. A matéria envolvida aqui é séries geométricas, que são somas de termos que têm uma razão constante entre eles. Vamos precisar lembrar como funciona a soma de uma série geométrica infinita para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série que temos aqui. A série é . Isso é uma série geométrica onde cada termo é . A forma geral de uma série geométrica infinita é , onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 3

No nosso caso, podemos reescrever a série começando de sumn=0^infty(1+c)^-n = 1 + sumn=1^infty(1+c)^-n para facilitar. Se fizermos isso, teremos:
Sabemos que a soma dessa série completa deve ser igual a .

Passo 4

Agora, vamos lembrar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
onde é a soma, é o primeiro termo, e é a razão. No nosso caso, e .

Passo 5

Aplicando a fórmula:
3 = 11 - (1+c)^-1
Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 6

Primeiro, simplificamos o denominador:
1 - 11+c = (1+c) - 11+c = c1+c
Então, a equação fica:
3 = 1c1+c = 1+cc

Passo 7

Agora, multiplicamos ambos os lados por 3c = 1 + c :
2c = 1
Subtraindo c = 12 de ambos os lados:
Então,

Resposta

O valor de é .

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