Qual é o valor de
se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir o valor de
tal que a soma da série infinita
seja igual a 2. A matéria envolvida aqui é séries geométricas, que são somas de termos que têm uma razão constante entre eles. Vamos precisar lembrar como funciona a soma de uma série geométrica infinita para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a série que temos aqui. A série é
. Isso é uma série geométrica onde cada termo é
. A forma geral de uma série geométrica infinita é
, onde
é o primeiro termo e
é a razão.
Passo 3
No nosso caso, podemos reescrever a série começando de
para facilitar. Se fizermos isso, teremos:
Sabemos que a soma dessa série completa deve ser igual a
.
Passo 4
Agora, vamos lembrar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
onde
é a soma,
é o primeiro termo, e
é a razão. No nosso caso,
e
.
Passo 5
Aplicando a fórmula:
Vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 6
Primeiro, simplificamos o denominador:
Então, a equação fica:
Passo 7
Agora, multiplicamos ambos os lados por
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Então,
Resposta
O valor de
é
.
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Sejam
e
dois dígitos, isto é,
. Mostre que
Em particular,
.
Teste a convergência ou divergência das séries.
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