Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=3^infty 1n ln n[ln (ln n)]^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente testar se a série converge ou diverge. Isso tá dentro do conteúdo de séries infinitas, e pra resolver vamos usar o Teste da Condensação de Cauchy, que é super útil pra séries que têm termos com logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Condensação de Cauchy. Ele funciona assim: se você tem uma série positiva e decrescente, , então a série original converge se e somente se a série condensada converge. É uma maneira de simplificar a análise de séries complicadas usando uma série geométrica condensada.

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse teste à nossa série. Vamos definir sumk=1^infty 2^k cdot 12^k ln 2^k [ln (ln 2^k)]^2 . Segundo o teste, precisamos analisar a série condensada:
sumk=1^infty 1k ln 2 [ln (k ln 2)]^2
Simplificando:
sumk=1^infty 1k (ln k)^2
Aqui, . Podemos simplificar ainda mais a expressão, percebendo que para valores grandes de . Então, a série condensada fica aproximadamente:

Passo 4

Agora, vamos analisar essa nova série integral2^infty 1x (ln x)^2 dx . Podemos usar o Teste da Integral para ver se ela converge. A integral correspondente é:
integralln 2^infty 1u^2 du = [ -1u ]ln 2^infty = 1ln 2
Fazendo a substituição , , a integral vira:
Como a integral converge, a série também converge.

Passo 5

Como a série condensada converge, pelo Teste da Condensação de Cauchy, a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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