Teste a convergência ou divergência das séries.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente testar se a série
converge ou diverge. Isso tá dentro do conteúdo de séries infinitas, e pra resolver vamos usar o Teste da Condensação de Cauchy, que é super útil pra séries que têm termos com logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Condensação de Cauchy. Ele funciona assim: se você tem uma série positiva e decrescente,
, então a série original converge se e somente se a série condensada
converge. É uma maneira de simplificar a análise de séries complicadas usando uma série geométrica condensada.
Passo 3
Agora, vamos aplicar esse teste à nossa série. Vamos definir
. Segundo o teste, precisamos analisar a série condensada:
Simplificando:
Aqui,
. Podemos simplificar ainda mais a expressão, percebendo que
para valores grandes de
. Então, a série condensada fica aproximadamente:
Passo 4
Agora, vamos analisar essa nova série
. Podemos usar o Teste da Integral para ver se ela converge. A integral correspondente é:
Fazendo a substituição
,
, a integral vira:
Como a integral converge, a série
também converge.
Passo 5
Como a série condensada
converge, pelo Teste da Condensação de Cauchy, a série original
também converge.
Resposta
A série
converge.
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Sejam
e
dois dígitos, isto é,
. Mostre que
Em particular,
.
Qual é o valor de
se