Verificar se o seguinte conjunto é um subespaço vetorial de M(2,2).
S=[ll a & 1 1 & b ]: a, b in R [ll a & 1 1 & b1 ]+[ll a & 1 & b2 ]

Passo 1

Então, vamos lá! Temos que verificar se o conjunto S = a & 1 1 & b : a, b in R é um subespaço vetorial de , que é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. O conjunto é definido como:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais propriedades ele deve satisfazer. Vamos verificar passo a passo se atende a essas propriedades.

Passo 2

Primeira Propriedade: O Vetor Zero está em 0 = 0 & 0 0 & 0
Um subespaço vetorial deve conter o vetor zero. No caso de matrizes, o vetor zero é a matriz onde todas as entradas são zero:
a & 1 1 & b = 0 & 0 0 & 0
Vamos verificar se essa matriz pertence a . Para isso, precisamos encontrar valores de e que satisfaçam:
Comparando as entradas, temos:
  • (Contradição!)
  • (Contradição!)
Como não é possível que , a matriz zero não está em .

Passo 3

Segunda Propriedade: Fechamento sob Adição
Mesmo já tendo visto que o vetor zero não está em A = a & 1 1 & b , B = c & 1 1 & d , vamos continuar para entender melhor. Para que A + B = a + c & 1 + 1 1 + 1 & b + d = a + c & 2 2 & b + d seja um subespaço, a soma de duas matrizes em também deve pertencer a .
Sejam duas matrizes em :
Sua soma é:
Para que pertença a , a posição (1,2) e (2,1) devem ser iguais a 1. Mas aqui, temos 2 nessas posições, o que não pertence a . Portanto, não é fechado sob adição.

Passo 4

Terceira Propriedade: Fechamento sob Multiplicação por Escalar
Vamos verificar se, ao multiplicar uma matriz de A = a & 1 1 & b por um escalar real, o resultado ainda está em kA = ka & k cdot 1 k cdot 1 & kb = ka & k k & kb .
Seja k = 1 :
Multiplicando por um escalar :
Para que pertença a , as posições (1,2) e (2,1) devem ser iguais a 1:
Isso significa que somente se , a matriz resultante estará em . Para qualquer outro valor de , não estará. Portanto, não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Com base nas propriedades verificadas, o conjunto não é um subespaço vetorial de , pois não contém a matriz zero, nem é fechado sob adição e multiplicação por escalar.

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