Verificar se o seguinte conjunto é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos que verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
, que é o conjunto de todas as matrizes
com entradas reais. O conjunto
é definido como:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais propriedades ele deve satisfazer. Vamos verificar passo a passo se
atende a essas propriedades.
Passo 2
Primeira Propriedade: O Vetor Zero está em
Um subespaço vetorial deve conter o vetor zero. No caso de matrizes, o vetor zero é a matriz onde todas as entradas são zero:
Vamos verificar se essa matriz pertence a
. Para isso, precisamos encontrar valores de
e
que satisfaçam:
Comparando as entradas, temos:
-
-
(Contradição!) -
(Contradição!) -
Como não é possível que
, a matriz zero não está em
.
Passo 3
Segunda Propriedade: Fechamento sob Adição
Mesmo já tendo visto que o vetor zero não está em
, vamos continuar para entender melhor. Para que
seja um subespaço, a soma de duas matrizes em
também deve pertencer a
.
Sejam duas matrizes em
:
Sua soma é:
Para que
pertença a
, a posição (1,2) e (2,1) devem ser iguais a 1. Mas aqui, temos 2 nessas posições, o que não pertence a
. Portanto,
não é fechado sob adição.
Passo 4
Terceira Propriedade: Fechamento sob Multiplicação por Escalar
Vamos verificar se, ao multiplicar uma matriz de
por um escalar real, o resultado ainda está em
.
Seja
:
Multiplicando por um escalar
:
Para que
pertença a
, as posições (1,2) e (2,1) devem ser iguais a 1:
Isso significa que somente se
, a matriz resultante estará em
. Para qualquer outro valor de
, não estará. Portanto,
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Com base nas propriedades verificadas, o conjunto
não é um subespaço vetorial de
, pois não contém a matriz zero, nem é fechado sob adição e multiplicação por escalar.