Sejam
e
os conjuntos dos vetores em
. Mostre que
é um conjunto fechado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre dois conjuntos de vetores,
e
, no espaço tridimensional
. O que a gente precisa fazer é mostrar que o conjunto
é um conjunto fechado. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto fechado e como verificar essa propriedade usando conceitos de topologia no espaço euclidiano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um conjunto fechado. Em matemática, especialmente em topologia, um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos de limite. Ou seja, se uma sequência de pontos dentro do conjunto converge para algum ponto, esse ponto limite também deve estar dentro do conjunto.
No nosso caso,
é o espaço onde estamos trabalhando, e queremos ver se
é fechado nesse espaço.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é
. No enunciado,
é definido como "o conjunto dos vetores em
". Isso significa que
é, na verdade, todo o espaço tridimensional
.
Então, estamos basicamente perguntando: O espaço todo
é um conjunto fechado?
Passo 4
Para responder isso, lembramos que no espaço euclidiano
(nesse caso,
), o próprio espaço é sempre um conjunto fechado. Isso porque não há “pontos fora” do espaço para considerar como limites.
Matematicamente, dizemos que
é fechado porque ele contém todos os seus pontos de limite por definição.
Passo 5
Então, como
, concluímos que
também é um conjunto fechado. Não há sequências de vetores em
cujo limite estaria fora de
, já que
abrange todo o espaço tridimensional.
Resposta
O conjunto
é fechado porque ele é igual a
, que é um conjunto fechado no espaço tridimensional.