Sejam
uma função,
um número real e suponhamos que existam
e
tais que
e
estejam contidos em
. Então, prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que você me enviou pede para provar uma coisa sobre limites de funções. Mais especificamente, queremos mostrar que o limite de uma função
quando
se aproxima de um ponto
é igual a um número
se e somente se a função
tem limites laterais (à direita e à esquerda) em
e esses limites são iguais a
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são limites, limites laterais, e como provar equivalências matemáticas. Vamos dividir isso em passos para ficar mais fácil de acompanhar!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que
. Isso quer dizer que quando
se aproxima de
de qualquer lado, o valor de
se aproxima de
.
Agora, os limites laterais são quando a gente olha apenas de um lado:
- Limite à direita:
significa que está se aproximando de vindo por valores maiores que . - Limite à esquerda:
significa que está se aproximando de vindo por valores menores que .
Passo 3
Vamos começar provando que se
, então os limites laterais também existem e são iguais a
.
Prova de
:
Se
, isso significa que independente de como
se aproxima de
, o valor de
está chegando perto de
. Logo, se a gente olhar apenas pelo lado direito ou pelo lado esquerdo, isso também deve acontecer. Então:
Ou seja, os limites laterais existem e são iguais a
.
Passo 4
Agora, vamos provar o outro sentido: se os limites laterais existem e são iguais a
, então
.
Prova de
:
Se sabemos que:
Isso quer dizer que tanto pelo lado direito quanto pelo lado esquerdo,
está se aproximando de
. Portanto, não importa de qual direção
se aproxima de
, o valor de
tende a
. Logo, o limite geral também é
:
Resposta
Assim, provamos que
se e somente se
tem limites laterais à direita e à esquerda em
, e ambos são iguais a
. ✅