Sejam f uma função, p um número real e suponhamos que existam a e b tais que ] a, p[ e ] p, b[ estejam contidos em Df. Então, prove que
lim x p f(x)=L Leftrightarrowl f admite limites laterais à direita e à esquerda em p e lim x p^+ f(x)=lim x p^- f(x)=L àà

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você me enviou pede para provar uma coisa sobre limites de funções. Mais especificamente, queremos mostrar que o limite de uma função quando se aproxima de um ponto é igual a um número se e somente se a função tem limites laterais (à direita e à esquerda) em e esses limites são iguais a .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são limites, limites laterais, e como provar equivalências matemáticas. Vamos dividir isso em passos para ficar mais fácil de acompanhar!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que . Isso quer dizer que quando se aproxima de de qualquer lado, o valor de se aproxima de .
Agora, os limites laterais são quando a gente olha apenas de um lado:
  • Limite à direita: significa que está se aproximando de vindo por valores maiores que .
  • Limite à esquerda: significa que está se aproximando de vindo por valores menores que .

Passo 3

Vamos começar provando que se , então os limites laterais também existem e são iguais a .
Prova de :
Se , isso significa que independente de como se aproxima de , o valor de está chegando perto de . Logo, se a gente olhar apenas pelo lado direito ou pelo lado esquerdo, isso também deve acontecer. Então:
Ou seja, os limites laterais existem e são iguais a .

Passo 4

Agora, vamos provar o outro sentido: se os limites laterais existem e são iguais a , então .
Prova de :
Se sabemos que:
Isso quer dizer que tanto pelo lado direito quanto pelo lado esquerdo, está se aproximando de . Portanto, não importa de qual direção se aproxima de , o valor de tende a . Logo, o limite geral também é :

Resposta

Assim, provamos que se e somente se tem limites laterais à direita e à esquerda em , e ambos são iguais a . ✅

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