Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. O conteúdo que vamos usar aqui é o método das frações parciais, que é uma técnica para integrar funções racionais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a função em frações mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Sabemos que
é uma diferença de quadrados, então podemos fatorar assim:
Passo 3
Agora que temos os fatores, vamos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Passo 4
Para encontrar
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, vamos expandir e simplificar:
Passo 5
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Portanto, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos escrever a integral original como:
Passo 8
Vamos integrar termo a termo: