Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais: integral d xx^2-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . O conteúdo que vamos usar aqui é o método das frações parciais, que é uma técnica para integrar funções racionais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a função em frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) . Sabemos que é uma diferença de quadrados, então podemos fatorar assim:

Passo 3

Agora que temos os fatores, vamos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. Queremos encontrar constantes 1(x - 2)(x + 2) = Ax - 2 + Bx + 2 e tais que:

Passo 4

Para encontrar 1 = A(x + 2) + B(x - 2) e 1 = A x + 2A + B x - 2B , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 1 = (A + B)x + (2A - 2B) :
Agora, vamos expandir e simplificar:

Passo 5

Para que essa igualdade seja válida para todo A + B = 0 2A - 2B = 1 , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Portanto, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: 2(-B) - 2B = 1 -2B - 2B = 1 -4B = 1 B = -14
Substituindo na segunda equação:
Então,

Passo 7

Agora que temos integral dxx^2 - 4 = integral ( 14x - 2 + -14x + 2 ) dx e , podemos escrever a integral original como:

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
integral 14x - 2 dx + integral -14x + 2 dx = 14 ln|x - 2| - 14 ln|x + 2| + C

Resposta

integral dxx^2 - 4 = 14 ln|x - 2x + 2| + C

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