Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente usando o método das frações parciais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a expressão em frações mais simples que a gente consegue integrar mais facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração: . Observamos que todos os termos têm um em comum, então podemos fatorar:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático . Esse trinômio é um quadrado perfeito:
Então, o denominador fatorado fica:
Passo 3
Agora que o denominador está fatorado, vamos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. Queremos encontrar constantes , e tais que:
Passo 4
Para encontrar os valores de , e , vamos multiplicar ambos os lados da equa�o pelo denominador :
Vamos expandir e simplificar o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Primeiro, resolvemos a terceira equação para encontrar 9A = 18 Rightarrow A = 2 :
2 + B = 2 Rightarrow B = 0
Substituindo 6(2) + 3(0) + C = 13 Rightarrow 12 + C = 13 Rightarrow C = 1 na primeira equação:
Agora, substituímos e na segunda equação:
Passo 6
Agora que temos os valores de 2x^2 + 13x + 18x(x + 3)^2 = 2x + 0x + 3 + 1(x + 3)^2 = 2x + 1(x + 3)^2 , e , podemos reescrever a fração original:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2x , dx + integral 1(x + 3)^2 , dx
A integral de 2 ln|x| é simples:
integral 1(x + a)^2 , dx = -1x + a
Para a integral de -1x + 3 , lembramos que:
2 ln|x| - 1x + 3 + C
Aplicando isso:
Então, a integral inteira fica:
Passo 8
Agora, vamos calcular o valor definido da integral de 1 a 4: