Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais: integral1^4 2 x^2+13 x+18x^3+6 x^2+9 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente usando o método das frações parciais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a expressão em frações mais simples que a gente consegue integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração: x^3 + 6x^2 + 9x = x(x^2 + 6x + 9) . Observamos que todos os termos têm um x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 em comum, então podemos fatorar:
x^3 + 6x^2 + 9x = x(x + 3)^2
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático . Esse trinômio é um quadrado perfeito:
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora que o denominador está fatorado, vamos escrever a fração original como uma soma de frações parciais. Queremos encontrar constantes 2x^2 + 13x + 18x(x + 3)^2 = Ax + Bx + 3 + C(x + 3)^2 , e tais que:

Passo 4

Para encontrar os valores de 2x^2 + 13x + 18 = A(x + 3)^2 + Bx(x + 3) + Cx , A(x^2 + 6x + 9) + Bx(x + 3) + Cx = A x^2 + 6A x + 9A + B x^2 + 3B x + Cx e (A + B) x^2 + (6A + 3B + C) x + 9A , vamos multiplicar ambos os lados da equa�o pelo denominador :
Vamos expandir e simplificar o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
A + B = 2 6A + 3B + C = 13 9A = 18
Primeiro, resolvemos a terceira equação para encontrar 9A = 18 Rightarrow A = 2 :
2 + B = 2 Rightarrow B = 0
Substituindo 6(2) + 3(0) + C = 13 Rightarrow 12 + C = 13 Rightarrow C = 1 na primeira equação:
Agora, substituímos e na segunda equação:

Passo 6

Agora que temos os valores de 2x^2 + 13x + 18x(x + 3)^2 = 2x + 0x + 3 + 1(x + 3)^2 = 2x + 1(x + 3)^2 , e , podemos reescrever a fração original:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2x , dx + integral 1(x + 3)^2 , dx
A integral de 2 ln|x| é simples:
integral 1(x + a)^2 , dx = -1x + a
Para a integral de -1x + 3 , lembramos que:
2 ln|x| - 1x + 3 + C
Aplicando isso:
Então, a integral inteira fica:

Passo 8

Agora, vamos calcular o valor definido da integral de 1 a 4:
[2 ln|x| - 1x + 3]1^4 = (2 ln 4 - 17) - (2 ln 1 - 14)
Sabemos que 2 ln 4 - 17 - (0 - 14) = 2 ln 4 - 17 + 14 , então simplificando:
approx 2 times 1.3863 - 0.1429 + 0.25 = 2.7726 - 0.1429 + 0.25 approx 2.8797
Calculando os valores numéricos:

Resposta

O valor da integral é aproximadamente .

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