Sejam
e
duas funções reais, diferenciáveis em
. Seus gráficos se intersectam perpendicularmente em
. Se
, qual a equação da reta tangente ao gráfico de
em
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema tá pedindo. Temos duas funções reais,
e
, que são diferenciáveis em todos os números reais (
). Os gráficos dessas funções se cruzam perpendicularmente no ponto
. Sabemos que
. A missão aqui é encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de
nesse ponto
.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas (que nos dão a inclinação das tangentes) e sobre como duas retas serem perpendiculares estão relacionadas pelas suas inclinações.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a inclinação da reta
. Essa função é uma reta do tipo
, onde
é a inclinação. Aqui,
. Então, a inclinação da tangente à
em qualquer ponto é
.
Passo 3
Como os gráficos de
e
se cruzam perpendicularmente em
, as inclinações das tangentes nessas funções nesse ponto devem satisfazer a condição de perpendicularidade. Isso significa que o produto das inclinações é igual a
.
Matematicamente, se
é a inclinação de
e
a de
, então:
Passo 4
Já sabemos que
. Vamos substituir na equação:
Agora, resolvendo para
:
Então, a inclinação da reta tangente a
no ponto
é
.
Passo 5
Agora, queremos a equação da reta tangente a
em
. Sabemos a inclinação
e um ponto pelo qual a reta passa, que é
.
Vamos usar a forma da equação da reta:
Onde
é o ponto dado e
é a inclinação.
Substituindo:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação para deixá-la na forma
:
Distribuindo o
:
Agora, somando 3 (ou
) aos dois lados:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de
em
é:
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Analise as afirmações a seguir. Identifique se são verdadeiras ou falsas.
b) O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de em um ponto
é
b) O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
Derive as seguintes funções, usando apenas as propriedades básicas de derivação.
Verifique se a função
é contínua em
e se é derivável em
.
Analise as afirmações a seguir. Identifique se são verdadeiras ou falsas.
a) Se é diferenciável em
e
.
a) Se