Verifique se a função
é contínua em
e se é derivável em
.
Passo 1
Vamos analisar o exercício que envolve verificar se a função
é contínua e derivável em
. Para isso, vamos utilizar conceitos de continuidade e derivabilidade de funções. Precisaremos entender como calcular limites laterais e derivadas para determinar essas propriedades em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade da função
em
. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando
se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos que:
Passo 3
Vamos calcular o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
):
Para
,
. Então,
Passo 4
Agora, calculamos o limite quando
se aproxima de 1 pela direita (
):
Para
,
. Então,
Passo 5
Verificamos o valor da função em
:
Passo 6
Comparando os limites e o valor da função:
Como os limites laterais não são iguais, a função não é contínua em
.
Passo 7
Como a função não é contínua em
, ela também não pode ser derivável nesse ponto. A derivabilidade exige continuidade, então não precisamos calcular a derivada.
Resposta
A função
não é contínua em
e, consequentemente, não é derivável nesse ponto.
Exercícios relacionados
Sejam
e
duas funções reais, diferenciáveis em
. Seus gráficos se intersectam perpendicularmente em
. Se
, qual a equação da reta tangente ao gráfico de
em
?
Analise as afirmações a seguir. Identifique se são verdadeiras ou falsas.
b) O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de em um ponto
é
b) O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
Analise as afirmações a seguir. Identifique se são verdadeiras ou falsas.
a) Se é diferenciável em
e
.
a) Se
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
.