Sejam
e
um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma
no ponto
:
(b) Derivada da função
:
© Derivada do produto
no ponto
:
(d) Derivada do quociente
no ponto
:
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se
, temos
;
(b) se
, temos
;
© se
(exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
. (Usamos a regra do quociente, que envolve a derivada do numerador, mas neste exemplo, a derivada do numerador precisa regra de multiplicação.)
(a) Derivada da soma
(a) se
(b) se
© se
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas! A gente precisa calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar duas regras principais de derivação: a Regra do Quociente e a Regra do Produto. A Regra do Quociente ajuda a derivar frações de funções, e a Regra do Produto é útil quando temos duas funções multiplicadas, como no numerador aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem a
e
na Regra do Quociente, que é:
Aqui, temos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
e
. Começando por
:
Fácil, né?
Passo 4
Agora, vamos derivar . Aqui usamos a Regra do Produto, que diz:
Aplicando isso:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 5
Com
e
em mãos, vamos aplicar a Regra do Quociente:
Substituindo:
Passo 6
Agora, vamos simplificar um pouquinho essa expressão:
Primeiro, distribuímos o
:
Simplificando os termos:
Os termos se cancelam:
Então, a derivada fica:
Resposta
A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Sejam
e
um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma no ponto
:
(a) Derivada da soma
(b) Derivada da função
:
© Derivada do produto
no ponto
:
(d) Derivada do quociente
no ponto
:
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se , temos
;
(b) se , temos
;
© se (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
(a) se
(b) se
© se
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
Use a regra de cadeia:
, onde
significa a composição de funções, isto é,
: para calcular as seguintes derivadas.
(Exemplo) então $(g \circ f)^{\prime}(x)=\left(\
(Exemplo)
Sejam
e
um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma no ponto
:
(a) Derivada da soma
(b) Derivada da função
:
© Derivada do produto
no ponto
:
(d) Derivada do quociente
no ponto
:
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se , temos
;
(b) se , temos
;
© se (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
. (Use a regra de multiplicação e a derivada de
.)
(a) se
(b) se
© se
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
As funções abaixo são definidas de
para
. Encontre os seguintes limites: