Sejam f, g: R R e a in R um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma f(x)+g(x) no ponto x0 :
(f+g)^prime(x0)=f^prime(x0)+g^prime(x0)
(b) Derivada da função a f(x) :
(a f)^prime(x0)=a f^prime(x0)
© Derivada do produto f(x) g(x) no ponto x0 :
(f g)^prime(x0)=f(x0) g^prime(x0)+f^prime(x0) g(x0)
(d) Derivada do quociente f(x) / g(x) no ponto x0 :
(f / g)^prime(x0)=g(x0) f^prime(x0)-f(x0) g^prime(x0)g(x0)^2
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se f(x)=sen(x), temos f^prime(x0)=cos (x0);
(b) se f(x)=cos (x), temos f^prime(x0)=-sen(x0);
© se f(x)=tg(x) (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
f(x)=2 x sen(x)x-1. (Usamos a regra do quociente, que envolve a derivada do numerador, mas neste exemplo, a derivada do numerador precisa regra de multiplicação.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas! A gente precisa calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar duas regras principais de derivação: a Regra do Quociente e a Regra do Produto. A Regra do Quociente ajuda a derivar frações de funções, e a Regra do Produto é útil quando temos duas funções multiplicadas, como no numerador aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem a (uv)' = u'v - uv'v^2 e u(x) = 2x cdot sen(x) e v(x) = x - 1 na Regra do Quociente, que é:
Aqui, temos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de v(x) = x - 1 Rightarrow v'(x) = 1 e . Começando por :
Fácil, né?

Passo 4

Agora, vamos derivar . Aqui usamos a Regra do Produto, que diz:
(f cdot g)' = f' cdot g + f cdot g'
Aplicando isso:
Calculando cada parte:
Então:

Passo 5

Com f'(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)[v(x)]^2 e f'(x) = [2 sen(x) + 2x cos(x)](x - 1) - [2x sen(x)](1)(x - 1)^2 em mãos, vamos aplicar a Regra do Quociente:
Substituindo:

Passo 6

Agora, vamos simplificar um pouquinho essa expressão:
Primeiro, distribuímos o 2 sen(x)(x - 1) + 2x cos(x)(x - 1) - 2x sen(x) :
Simplificando os termos:
Os termos se cancelam:
Então, a derivada fica:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados