Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um operador linear em um espaço vetorial , que satisfaz (ou seja, quando aplicamos n vezes, ele zera tudo) e que para algum vetor em . A gente precisa mostrar que o conjunto é linearmente independente (L.I.) em . Para isso, vamos usar conceitos de operadores lineares e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é L.I. se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se implica que .
Passo 3
Vamos supor que temos uma combinação linear dos vetores do conjunto que dá zero:
Nosso objetivo é mostrar que todos os coeficientes devem ser zero.
Passo 4
Aplicando o operador em ambos os lados da equação acima, temos:
Devido à linearidade de , isso dá:
Mas sabemos que , então todos os termos a partir de são zero. Assim, ficamos com:
Como , isso implica que .
Passo 5
Agora que sabemos que , voltamos à equação original:
Repetindo o mesmo processo, aplicamos para isolar , e assim por diante, sempre conseguindo mostrar que cada coeficiente deve ser zero.
Resposta
Portanto, o conjunto é linearmente independente em .