Sejam F in L(V) e u0 in V tais que F^n=0 (operador nulo) e F^n-1(u0) neq o. Mostrar que
u0, F(u0), F^2(u0), ldots, F^n-1(u0)
é um conjunto L.I. em V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um operador linear em um espaço vetorial , que satisfaz (ou seja, quando aplicamos n vezes, ele zera tudo) e que para algum vetor em . A gente precisa mostrar que o conjunto é linearmente independente (L.I.) em . Para isso, vamos usar conceitos de operadores lineares e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é L.I. se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se implica que .

Passo 3

Vamos supor que temos uma combinação linear dos vetores do conjunto que dá zero:
a0u0 + a1F(u0) + a2F^2(u0) + ldots + an-1F^n-1(u0) = 0
Nosso objetivo é mostrar que todos os coeficientes devem ser zero.

Passo 4

Aplicando o operador F^n-1(a0u0 + a1F(u0) + ldots + an-1F^n-1(u0)) = F^n-1(0) = 0 em ambos os lados da equação acima, temos:
a0F^n-1(u0) + a1F^n(u0) + ldots + an-1F^2n-2(u0) = 0
Devido à linearidade de a0F^n-1(u0) = 0 , isso dá:
Mas sabemos que , então todos os termos a partir de são zero. Assim, ficamos com:
Como , isso implica que .

Passo 5

Agora que sabemos que 0 + a1F(u0) + a2F^2(u0) + ldots + an-1F^n-1(u0) = 0 , voltamos à equação original:
Repetindo o mesmo processo, aplicamos para isolar , e assim por diante, sempre conseguindo mostrar que cada coeficiente deve ser zero.

Resposta

Portanto, o conjunto é linearmente independente em .

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