Sejam
e
tais que
(operador nulo) e
. Mostrar que
é um conjunto L.I. em V.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um operador linear
em um espaço vetorial
, que satisfaz
(ou seja, quando aplicamos
n vezes, ele zera tudo) e que
para algum vetor
em
. A gente precisa mostrar que o conjunto
é linearmente independente (L.I.) em
. Para isso, vamos usar conceitos de operadores lineares e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores
é L.I. se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se
implica que
.
Passo 3
Vamos supor que temos uma combinação linear dos vetores do conjunto que dá zero:
Nosso objetivo é mostrar que todos os coeficientes
devem ser zero.
Passo 4
Aplicando o operador
em ambos os lados da equação acima, temos:
Devido à linearidade de
, isso dá:
Mas sabemos que
, então todos os termos a partir de
são zero. Assim, ficamos com:
Como
, isso implica que
.
Passo 5
Agora que sabemos que
, voltamos à equação original:
Repetindo o mesmo processo, aplicamos
para isolar
, e assim por diante, sempre conseguindo mostrar que cada coeficiente deve ser zero.
Resposta
Portanto, o conjunto
é linearmente independente em
.