Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
(a) r1:ly=2 x-3 z=-x+5 e r2:ly=-3 x+7 z=x+1;
(b) r1:ly=2 x-3 z=-x-10 e r2: x=y-43=2+1-2;
© r1:lx=2-lambda y=3-5 lambda z=6-6 lambda e r2:lx=-3+6 lambda y=1+7 lambda z=-1+13 lambda;
(d) r1:(x, y, z)=(2,4,1)+lambda(1,-2,3) e r2:(x, y, z)=(-1,2,5)+lambda(4,3,-2);
(e) r1:lx=2+lambda y=4-lambda z=-lambda e r2:ly=-x+6 z=-x+2.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se as retas e são concorrentes, ou seja, se elas se cruzam em algum ponto no espaço tridimensional. Se forem concorrentes, também vamos encontrar o ponto de interseção. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações paramétricas de retas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações das retas x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct e y = 2x - 3 z = -x + 5 em forma paramétrica. A forma paramétrica de uma reta no espaço é dada por:
x = t y = 2t - 3 z = -t + 5
onde r1: x = t y = 2t - 3 z = -t + 5 é um ponto na reta e y = -3x + 7 z = x + 1 é o vetor diretor da reta.
Para a reta x = s y = -3s + 7 z = s + 1 :
r2: x = s y = -3s + 7 z = s + 1
Podemos escolher como parâmetro. Então:
Portanto, a forma paramétrica de é:
Para a reta :
Novamente, escolhemos como parâmetro. Então:
Portanto, a forma paramétrica de é:

Passo 3

Agora, para verificar se as retas são concorrentes, precisamos encontrar valores de t = s 2t - 3 = -3s + 7 -t + 5 = s + 1 e que satisfaçam simultaneamente as equações das duas retas. Isso significa que devemos encontrar e tais que:
Como , podemos substituir por nas outras duas equações:

Passo 4

Vamos resolver a primeira equação para 2t - 3 = -3t + 7 :
5t - 3 = 7
Somando 5t = 10 em ambos os lados:
t = 2
Adicionando em ambos os lados:
Dividindo por :

Passo 5

Agora, vamos verificar se esse valor de -t + 5 = t + 1 satisfaz a segunda equação:
-2 + 5 = 2 + 1 3 = 3
Substituindo :
A igualdade é verdadeira, o que confirma que é uma solução válida.

Passo 6

Com o valor de x = 2 y = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1 z = -2 + 5 = 3 , podemos encontrar as coordenadas do ponto de interseção substituindo na equação paramétrica de :
Portanto, o ponto de interseção é .

Resposta

As retas e são concorrentes e se cruzam no ponto .

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