Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
(a) e ;
(b) e ;
© e ;
(d) e ;
(e) e .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se as retas e são concorrentes, ou seja, se elas se cruzam em algum ponto no espaço tridimensional. Se forem concorrentes, também vamos encontrar o ponto de interseção. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações paramétricas de retas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações das retas e em forma paramétrica. A forma paramétrica de uma reta no espaço é dada por:
onde é um ponto na reta e é o vetor diretor da reta.
Para a reta :
Podemos escolher como parâmetro. Então:
Portanto, a forma paramétrica de é:
Para a reta :
Novamente, escolhemos como parâmetro. Então:
Portanto, a forma paramétrica de é:

Passo 3

Agora, para verificar se as retas são concorrentes, precisamos encontrar valores de e que satisfaçam simultaneamente as equações das duas retas. Isso significa que devemos encontrar e tais que:
Como , podemos substituir por nas outras duas equações:

Passo 4

Vamos resolver a primeira equação para :
Somando em ambos os lados:
Adicionando em ambos os lados:
Dividindo por :

Passo 5

Agora, vamos verificar se esse valor de satisfaz a segunda equação:
Substituindo :
A igualdade é verdadeira, o que confirma que é uma solução válida.

Passo 6

Com o valor de , podemos encontrar as coordenadas do ponto de interseção substituindo na equação paramétrica de :
Portanto, o ponto de interseção é .

Resposta

As retas e são concorrentes e se cruzam no ponto .

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