Sejam f(t) = e^t * i + e^(-t) * j + raiz(2) * t * k e
y = sen(x^2)
determinar: y = sen(x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções vetoriais em função do tempo e . A tarefa é encontrar a derivada do produto vetorial delas, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular produtos vetoriais e como derivar funções vetoriais no cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial . Lembra que o produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso às nossas funções:
Calculando cada componente:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Então, o produto vetorial fica:

Passo 3

Agora, vamos derivar cada componente dessa função vetorial em relação ao tempo . A derivada de uma função vetorial é feita derivando cada uma das suas componentes separadamente.
  • Derivando a componente :
Aqui, usei a regra do produto para derivar e a regra do poder para derivar .
  • Derivando a componente :
Mais uma vez, apliquei a regra do produto.
  • Derivando a componente :
Então, juntando tudo, a derivada do produto vetorial é:

Resposta

A derivada do produto vetorial é:

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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“24.023ex” height=“3.072ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1108 10618.1 1358”><title>f(t) = e^t * i + e^(-t) * j + raiz(2) * t * k</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mover”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 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data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(499,363) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“2212” d=“M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(778,0)”><path data-c=“1D461” d=“M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z”></path></g></g></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(6748.7,0)”><g data-mml-node=“mover”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D457” d=“M297 596Q297 627 318 644T361 661Q378 661 389 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</body></html>
Analise as alternativas abaixo cm V para verdadeiro e F para falso, justificando suas respostas:
(a) Toda sequência crescente é convergente.
Analise as alternativas abaixo cm V para verdadeiro e F para falso, justificando suas respostas:
(b) Para uma série convergir basta que .