Sejam f(t)=t imath+2 t^2 jmath+3 t^3 k e g(t)=2 t imath+jmath-3 t^2 k, t >= 0. Calcule: lim t 1(t+f(t)).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções vetoriais, f(t) e g(t), definidas para t >= 0. A questão quer que calculemos o limite quando t se aproxima de 1 da expressão t + f(t). Aqui, vamos usar conceitos de limites de funções vetoriais e operações com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o limite de uma soma é igual à soma dos limites, desde que ambos os limites existam. Ou seja:
limt to 1 (t + f(t)) = limt to 1 t + limt to 1 f(t)

Passo 3

Calculemos o primeiro limite, que é simplesmente o limite de t quando t se aproxima de 1:
limt to 1 t = 1

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da função vetorial f(t) quando t se aproxima de 1. A função f(t) é dada por:
f(t) = t imath + 2 t^2 jmath + 3 t^3 k
Calculamos o limite para cada componente separadamente:
  • Componente imath: limt to 1 t = 1
  • Componente jmath: limt to 1 2 t^2 = 2 times (1)^2 = 2
  • Componente k: limt to 1 3 t^3 = 3 times (1)^3 = 3

Passo 5

Agora, juntamos os limites das componentes para obter o limite da função vetorial f(t):
limt to 1 f(t) = 1 imath + 2 jmath + 3 k

Passo 6

Finalmente, somamos os limites obtidos nos passos anteriores:
limt to 1 (t + f(t)) = 1 + (1 imath + 2 jmath + 3 k) = 1 imath + 2 jmath + 3 k + 1
No contexto de vetores, o “1” pode ser interpretado como 1 1, mas geralmente mantemos a expressão como está.

Resposta

O limite quando t se aproxima de 1 de (t + f(t)) é:
1 imath + 2 jmath + 3 k + 1

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