Sejam as funções abaixo:
f(x) = { x, se 0 <= x <= pi/2; pi - x, se pi/2 < x < pi }
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com séries de Fourier para uma função que é definida de forma diferente em dois intervalos: de 0 a π/2 e de π/2 a π. O conteúdo que vamos usar aqui é a série de Fourier, que nos ajuda a representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier para senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na representação em série de Fourier em senos. Como a função é definida no intervalo [0, π], vamos considerar uma série de Fourier do tipo seno, que é apropriada para funções que são zero nos extremos do intervalo (tipo função ímpar estendida).
A série de Fourier em senos é dada por:
Aqui, e os coeficientes são calculados por:

Passo 3

Vamos calcular os coeficientes . Substituindo na fórmula:
Agora, como a função é definida por partes, vamos dividir a integral em dois intervalos:

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeiro, a integral de :
Usamos integração por partes, onde e . Então, e .
Aplicando integração por partes:
Avaliando de 0 a π/2:

Passo 5

Agora, a segunda integral de :
Podemos reescrever como:
Já sabemos como resolver pela integração por partes, como fizemos anteriormente.
A integral de é:
Então, avaliando de π/2 a π:
Simplificando:

Passo 6

Agora, somamos as duas partes das integrais para encontrar :
Depois de simplificar os termos, observamos que alguns se cancelam:
Sabendo que , temos:

Passo 7

Finalmente, substituímos na série de Fourier em senos:

Passo 8

Agora, vamos para a representação em série de Fourier em cossenos. Para isso, usamos a série de Fourier do tipo cosseno, que é adequada para funções que são pares estendidas no intervalo.
A série de Fourier em cossenos é:
Os coeficientes são dados por:

Passo 9

Substituindo na fórmula:
Novamente, dividimos a integral em dois intervalos devido à definição da função:

Passo 10

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, a integral de :
Usamos integração por partes, onde e . Então, e .
Aplicando integração por partes:
Avaliando de 0 a π/2:

Passo 11

Agora, a segunda integral de :
Podemos reescrever como:
A integral de é:
Então, avaliando de π/2 a π:
Simplificando, como :

Passo 12

Somando as duas partes das integrais para encontrar :
Simplificando os termos:

Passo 13

Finalmente, substituímos na série de Fourier em cossenos:
Para encontrar , calculamos:
Realizando a integração:

Resposta

I) A representação em série de Fourier em senos para a função é:
II) A representação em série de Fourier em cossenos para a função é:

Exercícios relacionados

Sejam as funções abaixo:
f(x) = |2x - pi|, para x in (0, pi).
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
Sejam as funções abaixo:
f(x) = cos(x), para x in [0, pi].
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado. Esboce a região e um retângulo representativo.
(a) y = x^2, y = 0, x = 2; o eixo y.
(b) Se a solução de (40) tiver a forma u(x, t) = v(x) + w(x, t) onde v é a função encontrada no item anterior, mostre que w satisfaz o problema dado em (39), com alpha = 1.