Sejam as funções abaixo:
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com séries de Fourier para uma função que é definida de forma diferente em dois intervalos: de 0 a π/2 e de π/2 a π. O conteúdo que vamos usar aqui é a série de Fourier, que nos ajuda a representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier para senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na representação em série de Fourier em senos. Como a função é definida no intervalo [0, π], vamos considerar uma série de Fourier do tipo seno, que é apropriada para funções que são zero nos extremos do intervalo (tipo função ímpar estendida).
A série de Fourier em senos é dada por:
Aqui,
e os coeficientes
são calculados por:
Passo 3
Vamos calcular os coeficientes
. Substituindo
na fórmula:
Agora, como a função
é definida por partes, vamos dividir a integral em dois intervalos:
Passo 4
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeiro, a integral de
:
Usamos integração por partes, onde
e
. Então,
e
.
Aplicando integração por partes:
Avaliando de 0 a π/2:
Passo 5
Agora, a segunda integral de
:
Podemos reescrever como:
Já sabemos como resolver
pela integração por partes, como fizemos anteriormente.
A integral de
é:
Então, avaliando de π/2 a π:
Simplificando:
Passo 6
Agora, somamos as duas partes das integrais para encontrar
:
Depois de simplificar os termos, observamos que alguns se cancelam:
Sabendo que
, temos:
Passo 7
Finalmente, substituímos
na série de Fourier em senos:
Passo 8
Agora, vamos para a representação em série de Fourier em cossenos. Para isso, usamos a série de Fourier do tipo cosseno, que é adequada para funções que são pares estendidas no intervalo.
A série de Fourier em cossenos é:
Os coeficientes
são dados por:
Passo 9
Substituindo
na fórmula:
Novamente, dividimos a integral em dois intervalos devido à definição da função:
Passo 10
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, a integral de
:
Usamos integração por partes, onde
e
. Então,
e
.
Aplicando integração por partes:
Avaliando de 0 a π/2:
Passo 11
Agora, a segunda integral de
:
Podemos reescrever como:
A integral de
é:
Então, avaliando de π/2 a π:
Simplificando, como
:
Passo 12
Somando as duas partes das integrais para encontrar
:
Simplificando os termos:
Passo 13
Finalmente, substituímos
na série de Fourier em cossenos:
Para encontrar
, calculamos:
Realizando a integração:
Resposta
I) A representação em série de Fourier em senos para a função
é:
II) A representação em série de Fourier em cossenos para a função
é:
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Sejam as funções abaixo:
, para
.
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
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, para
.
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II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado. Esboce a região e um retângulo representativo.
(a) ; o eixo
.
(a)
(b) Se a solução de (40) tiver a forma
onde
é a função encontrada no item anterior, mostre que
satisfaz o problema dado em (39), com
.