Sejam as funções abaixo:
f(x) = |2x - pi|, para x in (0, pi).
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre séries de Fourier. A função dada é definida no intervalo . Precisamos encontrar as representações dessa função em séries de Fourier usando apenas senos e apenas cossenos. Para isso, vamos utilizar os conceitos de séries de Fourier para funções pares e ímpares, além das fórmulas de coeficientes de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier pode ser escrita em termos de senos e cossenos. Quando usamos apenas senos, estamos trabalhando com a série de Fourier ímpar, que representa funções que são ímpares em relação ao eixo y. Já quando usamos apenas cossenos, estamos trabalhando com a série de Fourier par, que representa funções que são pares em relação ao eixo y.

Passo 3

Vamos começar encontrando a série de Fourier em senos para . Como a função é definida no intervalo , vamos estender essa função de forma ímpar para todo o intervalo . Isso significa que .

Passo 4

Para encontrar os coeficientes da série de Fourier em senos, usamos a fórmula:
Vamos calcular esse integral para encontrar os coeficientes .

Passo 5

Observamos que a função muda sua expressão no ponto onde , ou seja, em . Portanto, vamos dividir o integral em duas partes:

Passo 6

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Usando integração por partes, temos:
E similarmente para a segunda integral.

Passo 7

Após calcular as integrais e simplificar, obtemos os coeficientes . A série de Fourier em senos será então:

Passo 8

Agora, vamos encontrar a série de Fourier em cossenos para a mesma função . Para isso, vamos estender a função de forma par no intervalo , ou seja, .

Passo 9

Os coeficientes da série de Fourier em cossenos são dados por:
Vamos calcular esse integral para encontrar os coeficientes .

Passo 10

Assim como antes, dividimos o integral no ponto :

Passo 11

Calculando essas integrais por partes, temos:
E similarmente para a segunda integral.

Passo 12

Após simplificar, obtemos os coeficientes . A série de Fourier em cossenos será então:

Resposta

As representações em séries de Fourier para a função no intervalo são:
I) Série de Fourier em senos:
onde os coeficientes são calculados conforme descrito acima.
II) Série de Fourier em cossenos:
onde os coeficientes são calculados conforme descrito acima.

Exercícios relacionados

Sejam as funções abaixo:
f(x) = cos(x), para x in [0, pi].
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
Verifique se a função u * u = 1 / raiz(x^2 + y^2 + z^2) é uma solução da equação de Laplace tridimensional u_xx + u_yy + u_zz = 0.
Sejam as funções abaixo:
f(x) = { x, se 0 <= x <= pi/2; pi - x, se pi/2 < x < pi }
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
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