Sejam as funções abaixo:
, para
.
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre séries de Fourier. A função dada é
definida no intervalo
. Precisamos encontrar as representações dessa função em séries de Fourier usando apenas senos e apenas cossenos. Para isso, vamos utilizar os conceitos de séries de Fourier para funções pares e ímpares, além das fórmulas de coeficientes de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier pode ser escrita em termos de senos e cossenos. Quando usamos apenas senos, estamos trabalhando com a série de Fourier ímpar, que representa funções que são ímpares em relação ao eixo y. Já quando usamos apenas cossenos, estamos trabalhando com a série de Fourier par, que representa funções que são pares em relação ao eixo y.
Passo 3
Vamos começar encontrando a série de Fourier em senos para
. Como a função é definida no intervalo
, vamos estender essa função de forma ímpar para todo o intervalo
. Isso significa que
.
Passo 4
Para encontrar os coeficientes da série de Fourier em senos, usamos a fórmula:
Vamos calcular esse integral para encontrar os coeficientes
.
Passo 5
Observamos que a função
muda sua expressão no ponto onde
, ou seja, em
. Portanto, vamos dividir o integral em duas partes:
Passo 6
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Usando integração por partes, temos:
E similarmente para a segunda integral.
Passo 7
Após calcular as integrais e simplificar, obtemos os coeficientes
. A série de Fourier em senos será então:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a série de Fourier em cossenos para a mesma função
. Para isso, vamos estender a função de forma par no intervalo
, ou seja,
.
Passo 9
Os coeficientes da série de Fourier em cossenos são dados por:
Vamos calcular esse integral para encontrar os coeficientes
.
Passo 10
Assim como antes, dividimos o integral no ponto
:
Passo 11
Calculando essas integrais por partes, temos:
E similarmente para a segunda integral.
Passo 12
Após simplificar, obtemos os coeficientes
. A série de Fourier em cossenos será então:
Resposta
As representações em séries de Fourier para a função
no intervalo
são:
I) Série de Fourier em senos:
onde os coeficientes
são calculados conforme descrito acima.
II) Série de Fourier em cossenos:
onde os coeficientes
são calculados conforme descrito acima.
Exercícios relacionados
Sejam as funções abaixo:
, para
.
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
Verifique se a função
é uma solução da equação de Laplace tridimensional
.
Sejam as funções abaixo:
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado. Esboce a região e um retângulo representativo.
(a) ; o eixo
.
(a)