Sejam i=(1,0,0), j=(0,1,0) e k=(0,0,1) vetores unitários no espaço R^3. Dados v=i+2 j-3 k e w=2 i+j-2 k, determine vetores unitários paralelos a:
v+w

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com vetores no espaço tridimensional ( R^3). Nos foram dados dois vetores, v e w, com suas respectivas componentes. O objetivo é encontrar vetores unitários paralelos à soma desses dois vetores, ou seja, v + w. Para isso, vamos precisar somar os vetores e depois encontrar um vetor na mesma direção, mas com comprimento igual a 1.

Passo 2

Vamos começar calculando a soma dos vetores v e w. As componentes de v são (1, 2, -3) e as de w são (2, 1, -2). Para somar os vetores, somamos componente por componente:
v + w = (1 + 2, 2 + 1, -3 + (-2)) = (3, 3, -5)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a norma do vetor resultante v + w. A norma de um vetor a = (a1, a2, a3) é dada por:
|a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Aplicando isso ao nosso vetor (3, 3, -5):
|v + w| = raiz3^2 + 3^2 + (-5)^2 = raiz9 + 9 + 25 = raiz43

Passo 4

Agora, para encontrar um vetor unitário na direção de v + w, vamos dividir cada componente do vetor pela sua norma:
u = v + w|v + w| = (3raiz43, 3raiz43, -5raiz43)

Passo 5

Como queremos todos os vetores unitários paralelos a v + w, além de u, também temos o vetor na direção oposta:
-u = (-3raiz43, -3raiz43, 5raiz43)

Resposta

Os vetores unitários paralelos a v + w são:
(3raiz43, 3raiz43, -5raiz43) e (-3raiz43, -3raiz43, 5raiz43)

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