Verifique se
é um espaço vetorial verificando os seguintes itens:
(a) Fechamento sob adição.
(a) Fechamento sob adição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se
é um espaço vetorial, focando primeiro no item (a): Fechamento sob adição. Isso está dentro do estudo de Álgebra Linear, onde a gente analisa se um conjunto cumpre certas propriedades para ser chamado de espaço vetorial. Para esse item, precisamos mostrar que, se pegarmos dois elementos de
e os somarmos, o resultado ainda está em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é
. Esse conjunto é formado por todas as funções contínuas no intervalo
. Ou seja, qualquer função que você possa desenhar sem levantar o lápis do papel nesse intervalo está em
.
Agora, o que significa fechamento sob adição? Significa que se você pegar duas funções
e
que estão em
e somá-las, a função resultante
também deve estar em
.
Então, vamos considerar duas funções quaisquer
e
em
. Sabemos que
e
são contínuas no intervalo
. A soma de duas funções contínuas também é uma função contínua. Isso é uma propriedade básica das funções contínuas.
Para ser mais claro:
-
é contínua em -
é contínua em - Portanto,
também é contínua em
Isso mostra que a soma
pertence a
.
Resposta
Sim,
é fechado sob adição, pois a soma de duas funções contínuas em
também é uma função contínua em
.