Verifique se C[0,1] é um espaço vetorial verificando os seguintes itens:
(a) Fechamento sob adição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se é um espaço vetorial, focando primeiro no item (a): Fechamento sob adição. Isso está dentro do estudo de Álgebra Linear, onde a gente analisa se um conjunto cumpre certas propriedades para ser chamado de espaço vetorial. Para esse item, precisamos mostrar que, se pegarmos dois elementos de e os somarmos, o resultado ainda está em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é . Esse conjunto é formado por todas as funções contínuas no intervalo . Ou seja, qualquer função que você possa desenhar sem levantar o lápis do papel nesse intervalo está em .
Agora, o que significa fechamento sob adição? Significa que se você pegar duas funções e que estão em e somá-las, a função resultante também deve estar em .
Então, vamos considerar duas funções quaisquer e em . Sabemos que e são contínuas no intervalo . A soma de duas funções contínuas também é uma função contínua. Isso é uma propriedade básica das funções contínuas.
Para ser mais claro:
  • é contínua em
  • é contínua em
  • Portanto, também é contínua em
Isso mostra que a soma pertence a .

Resposta

Sim, é fechado sob adição, pois a soma de duas funções contínuas em também é uma função contínua em .

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