Sejam e matriz de quadradas de ordem , sendo matriz invertível e diagonal.
Considere a matriz e . Mostre que det A=lambda^n.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três matrizes quadradas de ordem : , e . A matriz é invertível e é uma matriz diagonal, onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a . A matriz é definida como . O objetivo é mostrar que o determinante de é igual a .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos:
Determinante de uma matriz: é um número que pode ser calculado a partir dos elementos de uma matriz quadrada e que tem várias propriedades importantes na álgebra linear.
Matriz inversa: uma matriz que, quando multiplicada por , resulta na matriz identidade.
Matriz diagonal: uma matriz onde todos os elementos fora da diagonal principal são zero.
Propriedades do determinante: especialmente como o determinante se comporta em produtos de matrizes e matrizes invertidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz invertível det(P^-1) = 1det(P) não é zero, ou seja, . Além disso, o determinante da matriz inversa é igual ao inverso do determinante de :
Passo 3
Agora, vamos analisar a matriz det(D) = lambda times lambda times cdots times lambda = lambda^n . Como é uma matriz diagonal com todos os elementos da diagonal principal iguais a , o determinante de é simplesmente o produto dos elementos da diagonal:
Passo 4
Vamos agora usar uma propriedade importante do determinante: o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes. Ou seja:
det(A) = det(P^-1 D P) = det(P^-1) times det(D) times det(P)
Passo 5
Substituindo os valores que já sabemos:
det(A) = det(P^-1) times det(D) times det(P) = 1det(P) times lambda^n times det(P)
Passo 6
Observamos que det(A) = 1 times lambda^n = lambda^n . Portanto: