Sejam A, P e D matriz de quadradas de ordem n, sendo P matriz invertível e D diagonal.
Considere a matriz A=P^-1 D P e D=[cccclambda & 0 & cdots & 0 0 & lambda & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & lambda]. Mostre que det A=lambda^n.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três matrizes quadradas de ordem : , e . A matriz é invertível e é uma matriz diagonal, onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a . A matriz é definida como . O objetivo é mostrar que o determinante de é igual a .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos:
  • Determinante de uma matriz: é um número que pode ser calculado a partir dos elementos de uma matriz quadrada e que tem várias propriedades importantes na álgebra linear.
  • Matriz inversa: uma matriz que, quando multiplicada por , resulta na matriz identidade.
  • Matriz diagonal: uma matriz onde todos os elementos fora da diagonal principal são zero.
  • Propriedades do determinante: especialmente como o determinante se comporta em produtos de matrizes e matrizes invertidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz invertível det(P^-1) = 1det(P) não é zero, ou seja, . Além disso, o determinante da matriz inversa é igual ao inverso do determinante de :

Passo 3

Agora, vamos analisar a matriz det(D) = lambda times lambda times cdots times lambda = lambda^n . Como é uma matriz diagonal com todos os elementos da diagonal principal iguais a , o determinante de é simplesmente o produto dos elementos da diagonal:

Passo 4

Vamos agora usar uma propriedade importante do determinante: o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes. Ou seja:
det(A) = det(P^-1 D P) = det(P^-1) times det(D) times det(P)

Passo 5

Substituindo os valores que já sabemos:
det(A) = det(P^-1) times det(D) times det(P) = 1det(P) times lambda^n times det(P)

Passo 6

Observamos que det(A) = 1 times lambda^n = lambda^n . Portanto:

Resposta

O determinante de é igual a .

Exercícios relacionados