Sejam as matrizes e a matriz identidade de ordem . Calcule, caso exista: e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes e (a matriz identidade de ordem ). O desafio é calcular e . Para isso, vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes e propriedades da matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz identidade. A matriz identidade é uma matriz quadrada de ordem onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e os demais são 0. Ela atua como o “1” das matrizes, ou seja, quando você multiplica qualquer matriz por uma matriz identidade compatível, o resultado é a própria matriz.

Passo 3

Vamos analisar as dimensões das matrizes para ver se a multiplicação é possível:
  • Matriz é uma matriz (2 linhas e 4 colunas).
  • Matriz é uma matriz identidade .
  • Matriz é uma matriz identidade .
Para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular :
  • tem dimensão .
  • tem dimensão .
  • Como o número de colunas de (4) é igual ao número de linhas de (4), a multiplicação é possível.
  • A multiplicação de por vai resultar em uma matriz .

Passo 5

Sabendo que a matriz identidade não altera a matriz com a qual é multiplicada, temos:
Portanto, é igual à própria matriz .

Passo 6

Agora, vamos calcular :
  • tem dimensão .
  • tem dimensão .
  • O número de colunas de (2) é igual ao número de linhas de (2), então a multiplicação é possível.
  • A multiplicação de por vai resultar em uma matriz .

Passo 7

Usando a propriedade da matriz identidade novamente:
Ou seja, multiplicar por também resulta na matriz original.

Resposta

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Resolva os sistemas lineares abaixo usando eliminação de Gauss-Jordan:
(g)
a) tal que
b) tal que .
Sejam as matrizes e a matriz identidade de ordem . Calcule, caso exista: