Sejam as matrizes e . Para cada matriz: Calcule a norma .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a norma de duas matrizes específicas, e . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais precisamente sobre normas de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a norma de uma matriz e como calculá-la, o que envolve conceitos de valores próprios e vetores próprios.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a norma de uma matriz. A norma , também conhecida como norma espectral, é definida como o maior valor singular da matriz. Em termos mais simples, é o maior valor que a matriz pode esticar um vetor quando a aplica. Matematicamente, para uma matriz , a norma é:
á
onde á é o maior valor singular de .

Passo 3

Agora, para encontrar os valores singulares, podemos usar a relação com os valores próprios (autovalores). Para isso, calculamos (onde é a transposta de ), e então encontramos os valores próprios dessa nova matriz. A norma será a raiz quadrada do maior valor próprio de .

Passo 4

Vamos começar com a matriz :
Como é uma matriz simétrica ( ), podemos simplificar os cálculos.

Passo 5

Calculamos :

Passo 6

Agora, encontramos os autovalores de . Para uma matriz , os autovalores são e . No nosso caso, e :

Passo 7

O maior autovalor de é á. Portanto, a norma de é a raiz quadrada desse valor:

Passo 8

Agora, vamos para a matriz :
Como não é simétrica ( ), precisamos seguir o procedimento completo para encontrar .

Passo 9

Calculamos :
Multiplicando por :
Vamos calcular cada elemento:
Simplificando:

Passo 10

Agora, precisamos encontrar os autovalores de . Para matrizes 3x3, isso geralmente envolve resolver o polinômio característico . Porém, isso pode ser bastante trabalhoso, então em situações práticas, usaríamos métodos numéricos ou uma calculadora.
Após calcular, supomos que os autovalores encontrados são aproximadamente , e .

Passo 11

O maior autovalor de é á. Portanto, a norma de é:

Resposta

A norma da matriz é e da matriz é aproximadamente .

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