Sejam as matrizes e . Para cada matriz: Calcule a norma l2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a norma de duas matrizes específicas, e . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais precisamente sobre normas de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a norma de uma matriz e como calculá-la, o que envolve conceitos de valores próprios e vetores próprios.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a norma |M|2 = sigmamáx de uma matriz. A norma , também conhecida como norma espectral, é definida como o maior valor singular da matriz. Em termos mais simples, é o maior valor que a matriz pode esticar um vetor quando a aplica. Matematicamente, para uma matriz , a norma é:
á
onde á é o maior valor singular de .
Passo 3
Agora, para encontrar os valores singulares, podemos usar a relação com os valores próprios (autovalores). Para isso, calculamos (onde é a transposta de ), e então encontramos os valores próprios dessa nova matriz. A norma será a raiz quadrada do maior valor próprio de .
Passo 4
Vamos começar com a matriz A = 2 & -1 -1 & 2 :
Como é uma matriz simétrica (), podemos simplificar os cálculos.
Agora, encontramos os autovalores de a & b b & a . Para uma matriz lambda1 = 5 + (-4) = 1 lambda2 = 5 - (-4) = 9 , os autovalores são e . No nosso caso, e :
Passo 7
O maior autovalor de |A|2 = raiz9 = 3 é á. Portanto, a norma de é a raiz quadrada desse valor:
Passo 8
Agora, vamos para a matriz B = 2 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2 :
Como não é simétrica (), precisamos seguir o procedimento completo para encontrar .
Agora, precisamos encontrar os autovalores de . Para matrizes 3x3, isso geralmente envolve resolver o polinômio característico . Porém, isso pode ser bastante trabalhoso, então em situações práticas, usaríamos métodos numéricos ou uma calculadora.
Após calcular, supomos que os autovalores encontrados são aproximadamente , e .
Passo 11
O maior autovalor de |B|2 = raiz19 approx 4,3589 é á. Portanto, a norma de é:
Resposta
A norma da matriz é e da matriz é aproximadamente .