Sejam as matrizes A=[rr2 & -1 -1 & 2] e B=[lll2 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2]. Para cada matriz: Determine as multiplicidades algébrica e geométrica para cada autovalor.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar para cada uma das matrizes e os autovalores e determinar a multiplicidade algébrica e geométrica de cada um deles. Isso envolve entender conceitos como autovalores, multiplicidade algébrica (quantas vezes um autovalor aparece como raiz do polinômio característico) e multiplicidade geométrica (a dimensão do espaço vetorial formado pelos autovetores correspondentes a um autovalor).

Passo 2

Vamos começar com a matriz 2 & -1 -1 & 2 . Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de . Para isso, calculamos o polinômio característico, que é dado por , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Calculando A - lambda I = 2 - lambda & -1 -1 & 2 - lambda :
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(2 - lambda) - (-1)(-1) = (2 - lambda)^2 - 1
Agora, calculamos o determinante:
(2 - lambda)^2 - 1 = 4 - 4lambda + lambda^2 - 1 = lambda^2 - 4lambda + 3
Desenvolvendo:
Então, o polinômio característico é .

Passo 4

Agora, resolvemos lambda = 4 pm raiz16 - 122 = 4 pm 22 para encontrar os autovalores:
Portanto, os autovalores são e .

Passo 5

Multiplicidade Algébrica:
Para (A - 3I) = -1 & -1 -1 & -1 e (A - 1I) = 1 & -1 -1 & 1 , cada um aparece uma vez no polinômio característico , então a multiplicidade algébrica de cada autovalor é 1.
Multiplicidade Geométrica:
Agora, vamos encontrar a multiplicidade geométrica, que é a dimensão do espaço dos autovetores para cada autovalor.
Para :
Resolvendo , obtemos , então a multiplicidade geométrica é 1.
Para :
Resolvendo , obtemos , então a multiplicidade geométrica também é 1.

Passo 6

Agora, vamos para a matriz 2 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2 . Primeiro, encontramos o polinômio característico .

Passo 7

Calculando B - lambda I = 2 - lambda & 1 & 1 2 & 3 - lambda & 2 1 & 1 & 2 - lambda :
det(B - lambda I) = (2 - lambda)[(3 - lambda)(2 - lambda) - 2 cdot 1] - 1[2(2 - lambda) - 2 cdot 1] + 1[2 cdot 1 - (3 - lambda) cdot 1]
Calculando o determinante:
= (2 - lambda)[(3 - lambda)(2 - lambda) - 2] - 1[4 - 2lambda - 2] + 1[2 - (3 - lambda)]
Simplificando cada termo:
= (2 - lambda)[(6 - 5lambda + lambda^2) - 2] - 1[2 - 2lambda] + 1[lambda -1]
= (2 - lambda)(4 - 5lambda + lambda^2) - 2 + 2lambda + lambda -1
= (2 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 4) + 3lambda -3
= 2lambda^2 -10lambda +8 -lambda^3 +5lambda^2 -4lambda +3lambda -3
Multiplicando:
-lambda^3 +7lambda^2 -11lambda +5
Organizando os termos:
lambda^3 -7lambda^2 +11lambda -5 = 0
O polinômio característico é . Podemos multiplicar por -1 para facilitar:

Passo 8

Agora, resolvemos 1 -7 +11 -5 =0 . Testando possíveis raízes racionais (fatores de 5 sobre fatores de 1), testamos lambda^3 -7lambda^2 +11lambda -5 = (lambda -1)(lambda^2 -6lambda +5) :
lambda = 6 pm raiz36 -202 = 6 pm raiz162 = 6 pm 42
Então, é raiz. Fazendo a divisão polinomial por :
Agora, resolvemos :
Portanto, os autovalores são , , e .

Passo 9

Multiplicidade Algébrica:
O autovalor (B - I) = 1 & 1 &1 2 &2 &2 1 &1 &1 aparece duas vezes no polinômio característico, então sua multiplicidade algébrica é 2. O autovalor (B -5I) = -3 &1 &1 2 &-2 &2 1 &1 &-3 aparece uma vez, então sua multiplicidade algébrica é 1.
Multiplicidade Geométrica:
Vamos encontrar a multiplicidade geométrica para cada autovalor.
Para :
Reduzindo a matriz, vemos que todas as linhas são múltiplas umas das outras. Então, o espaço dos autovetores tem dimensão 1. Portanto, a multiplicidade geométrica de é 1.
Para :
Resolvendo , encontramos soluções não triviais, e o espaço dos autovetores tem dimensão 1. Então, a multiplicidade geométrica de é 1.

Resposta

Para a matriz :
  • Autovalor : multiplicidade algébrica = 1, multiplicidade geométrica = 1
  • Autovalor : multiplicidade algébrica = 1, multiplicidade geométrica = 1
Para a matriz :
  • Autovalor : multiplicidade algébrica = 2, multiplicidade geométrica = 1
  • Autovalor : multiplicidade algébrica = 1, multiplicidade geométrica = 1

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