Sejam as matrizes e . Para cada matriz: Determine as multiplicidades algébrica e geométrica para cada autovalor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar para cada uma das matrizes e os autovalores e determinar a multiplicidade algébrica e geométrica de cada um deles. Isso envolve entender conceitos como autovalores, multiplicidade algébrica (quantas vezes um autovalor aparece como raiz do polinômio característico) e multiplicidade geométrica (a dimensão do espaço vetorial formado pelos autovetores correspondentes a um autovalor).
Passo 2
Vamos começar com a matriz 2 & -1 -1 & 2 . Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de . Para isso, calculamos o polinômio característico, que é dado por , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Passo 3
Calculando A - lambda I = 2 - lambda & -1 -1 & 2 - lambda :
Agora, resolvemos lambda = 4 pm raiz16 - 122 = 4 pm 22 para encontrar os autovalores:
Portanto, os autovalores são e .
Passo 5
Multiplicidade Algébrica:
Para (A - 3I) = -1 & -1 -1 & -1 e (A - 1I) = 1 & -1 -1 & 1 , cada um aparece uma vez no polinômio característico , então a multiplicidade algébrica de cada autovalor é 1.
Multiplicidade Geométrica:
Agora, vamos encontrar a multiplicidade geométrica, que é a dimensão do espaço dos autovetores para cada autovalor.
Para :
Resolvendo , obtemos , então a multiplicidade geométrica é 1.
Para :
Resolvendo , obtemos , então a multiplicidade geométrica também é 1.
Passo 6
Agora, vamos para a matriz 2 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2 . Primeiro, encontramos o polinômio característico .
O autovalor (B - I) = 1 & 1 &1 2 &2 &2 1 &1 &1 aparece duas vezes no polinômio característico, então sua multiplicidade algébrica é 2. O autovalor (B -5I) = -3 &1 &1 2 &-2 &2 1 &1 &-3 aparece uma vez, então sua multiplicidade algébrica é 1.
Multiplicidade Geométrica:
Vamos encontrar a multiplicidade geométrica para cada autovalor.
Para :
Reduzindo a matriz, vemos que todas as linhas são múltiplas umas das outras. Então, o espaço dos autovetores tem dimensão 1. Portanto, a multiplicidade geométrica de é 1.
Para :
Resolvendo , encontramos soluções não triviais, e o espaço dos autovetores tem dimensão 1. Então, a multiplicidade geométrica de é 1.