Sejam as matrizes
e
. Para cada matriz: Calcule os autovetores associados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular os autovetores das matrizes
e
. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores primeiro e, depois, os autovetores correspondentes a cada um deles.
Passo 2
Vamos começar com a matriz
2 & -1 -1 & 2 . Primeiro, precisamos encontrar os autovalores dessa matriz. Os autovalores são os valores de
que satisfazem a equação característica:
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Calculando a equação característica para
det( 2 & -1 -1 & 2 - lambda 1 & 0 0 & 1 ) = det( 2 - lambda & -1 -1 & 2 - lambda ) = (2 - lambda)^2 - (-1)^2 = lambda^2 - 4lambda + 3 = 0 :
Resolvendo a equação
, temos:
Passo 4
Agora, para cada autovalor, vamos encontrar os autovetores. Isso é feito resolvendo
A - 3I = 2-3 & -1 -1 & 2-3 = -1 & -1 -1 & -1 .
Primeiro, para
-1 & -1 -1 & -1 :
Resolvendo
0 0 , temos a equação
1 -1 , ou seja,
.
Então, um autovetor associado a
é
.
Passo 5
Agora, para
A - 1I = 2-1 & -1 -1 & 2-1 = 1 & -1 -1 & 1 :
Resolvendo
x y , temos a equação
0 0 , ou seja,
1 1 .
Então, um autovetor associado a
é
.
Passo 6
Agora, vamos para a matriz
2 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2 . Primeiro, precisamos encontrar os autovalores resolvendo
.
Passo 7
Calculando a equação característica para
det( 2-lambda & 1 & 1 2 & 3-lambda & 2 1 & 1 & 2-lambda ) :
Expandindo o determinante, obtemos a equação cúbica em
. Resolvendo, encontramos os autovalores
,
e
.
Passo 8
Vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para
B - I = 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 1 & 1 & 1 :
Resolvendo
, encontramos que os autovetores são da forma
.
Passo 9
Para
B - 3I = -1 & 1 & 1 2 & 0 & 2 1 & 1 & -1 :
Resolvendo
, encontramos que os autovetores são da forma
.
Passo 10
Para
B - 4I = -2 & 1 & 1 2 & -1 & 2 1 & 1 & -2 :
Resolvendo
, encontramos que os autovetores são da forma
.
Resposta
Os autovetores associados às matrizes são:
-
Matriz
:1 -1 - Para
:1 1 1 -1 0 - Para
:1 1 1 1 2 1
- Para
-
Matriz
:- Para
: - Para
: - Para
:
- Para