Sejam as matrizes e . Para cada matriz: Calcule os autovetores associados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular os autovetores das matrizes e . Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores primeiro e, depois, os autovetores correspondentes a cada um deles.

Passo 2

Vamos começar com a matriz . Primeiro, precisamos encontrar os autovalores dessa matriz. Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica: , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando a equação característica para :
Resolvendo a equação , temos:

Passo 4

Agora, para cada autovalor, vamos encontrar os autovetores. Isso é feito resolvendo .
Primeiro, para :
Resolvendo , temos a equação , ou seja, .
Então, um autovetor associado a é .

Passo 5

Agora, para :
Resolvendo , temos a equação , ou seja, .
Então, um autovetor associado a é .

Passo 6

Agora, vamos para a matriz . Primeiro, precisamos encontrar os autovalores resolvendo .

Passo 7

Calculando a equação característica para :
Expandindo o determinante, obtemos a equação cúbica em . Resolvendo, encontramos os autovalores , e .

Passo 8

Vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para :
Resolvendo , encontramos que os autovetores são da forma .

Passo 9

Para :
Resolvendo , encontramos que os autovetores são da forma .

Passo 10

Para :
Resolvendo , encontramos que os autovetores são da forma .

Resposta

Os autovetores associados às matrizes são:
  • Matriz :
    • Para :
    • Para :
  • Matriz :
    • Para :
    • Para :
    • Para :

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Determine a solução de cada um dos sistemas lineares
Sejam as matrizes e . Para cada matriz: Calcule o raio espectral.

Pergunta-se:
a)