Sejam as matrizes A=[rr2 & -1 -1 & 2] e B=[lll2 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2]. Para cada matriz: Calcule os autovetores associados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular os autovetores das matrizes e . Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores primeiro e, depois, os autovetores correspondentes a cada um deles.

Passo 2

Vamos começar com a matriz 2 & -1 -1 & 2 . Primeiro, precisamos encontrar os autovalores dessa matriz. Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica: , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando a equação característica para det( 2 & -1 -1 & 2 - lambda 1 & 0 0 & 1 ) = det( 2 - lambda & -1 -1 & 2 - lambda ) = (2 - lambda)^2 - (-1)^2 = lambda^2 - 4lambda + 3 = 0 :
lambda = 4 pm raiz16 - 122 = 4 pm 22 Rightarrow lambda1 = 3 e lambda2 = 1
Resolvendo a equação , temos:

Passo 4

Agora, para cada autovalor, vamos encontrar os autovetores. Isso é feito resolvendo A - 3I = 2-3 & -1 -1 & 2-3 = -1 & -1 -1 & -1 .
Primeiro, para -1 & -1 -1 & -1 :
x y
Resolvendo 0 0 , temos a equação 1 -1 , ou seja, .
Então, um autovetor associado a é .

Passo 5

Agora, para A - 1I = 2-1 & -1 -1 & 2-1 = 1 & -1 -1 & 1 :
1 & -1 -1 & 1
Resolvendo x y , temos a equação 0 0 , ou seja, 1 1 .
Então, um autovetor associado a é .

Passo 6

Agora, vamos para a matriz 2 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2 . Primeiro, precisamos encontrar os autovalores resolvendo .

Passo 7

Calculando a equação característica para det( 2-lambda & 1 & 1 2 & 3-lambda & 2 1 & 1 & 2-lambda ) :
Expandindo o determinante, obtemos a equação cúbica em . Resolvendo, encontramos os autovalores , e .

Passo 8

Vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para B - I = 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 1 & 1 & 1 :
1 -1 0
Resolvendo , encontramos que os autovetores são da forma .

Passo 9

Para B - 3I = -1 & 1 & 1 2 & 0 & 2 1 & 1 & -1 :
1 1 1
Resolvendo , encontramos que os autovetores são da forma .

Passo 10

Para B - 4I = -2 & 1 & 1 2 & -1 & 2 1 & 1 & -2 :
1 2 1
Resolvendo , encontramos que os autovetores são da forma .

Resposta

Os autovetores associados às matrizes são:
  • Matriz 1 -1 :
    • Para 1 1 : 1 -1 0
    • Para 1 1 1 : 1 2 1
  • Matriz :
    • Para :
    • Para :
    • Para :

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