Sejam as matrizes e . Para cada matriz: Calcule os autovetores associados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular os autovetores das matrizes e . Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores primeiro e, depois, os autovetores correspondentes a cada um deles.
Passo 2
Vamos começar com a matriz . Primeiro, precisamos encontrar os autovalores dessa matriz. Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica: , onde é a matriz identidade.
Passo 3
Calculando a equação característica para :
Resolvendo a equação , temos:
Passo 4
Agora, para cada autovalor, vamos encontrar os autovetores. Isso é feito resolvendo .
Primeiro, para :
Resolvendo , temos a equação , ou seja, .
Então, um autovetor associado a é .
Passo 5
Agora, para :
Resolvendo , temos a equação , ou seja, .
Então, um autovetor associado a é .
Passo 6
Agora, vamos para a matriz . Primeiro, precisamos encontrar os autovalores resolvendo .
Passo 7
Calculando a equação característica para :
Expandindo o determinante, obtemos a equação cúbica em . Resolvendo, encontramos os autovalores , e .
Passo 8
Vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para :
Resolvendo , encontramos que os autovetores são da forma .
Passo 9
Para :
Resolvendo , encontramos que os autovetores são da forma .
Passo 10
Para :
Resolvendo , encontramos que os autovetores são da forma .