Sejam as matrizes e . Para cada matriz: Determine o polinômio característico.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem duas matrizes, e , e precisa encontrar o polinômio característico de cada uma delas. O polinômio característico é importante porque nos ajuda a descobrir os autovalores da matriz, que são fundamentais em várias aplicações na matemática e na física. Para isso, vamos precisar usar determinantes e entender um pouquinho da teoria das matrizes.
Passo 2
Vamos começar com a matriz :
O polinômio característico de uma matriz é dado por:
Onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que , e é um escalar.
Passo 3
Primeiro, vamos escrever :
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Então, o polinômio característico de é:
Passo 5
Agora vamos para a matriz :
O processo é o mesmo: calcular .
Passo 6
Primeiro, subtraímos da diagonal de :
Passo 7
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz . Para isso, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:
Passo 8
Vamos calcular cada um desses determinantes menores:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão do determinante: