Sejam as matrizes e . Para cada matriz: Determine o polinômio característico.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem duas matrizes, e , e precisa encontrar o polinômio característico de cada uma delas. O polinômio característico é importante porque nos ajuda a descobrir os autovalores da matriz, que são fundamentais em várias aplicações na matemática e na física. Para isso, vamos precisar usar determinantes e entender um pouquinho da teoria das matrizes.

Passo 2

Vamos começar com a matriz :
O polinômio característico de uma matriz é dado por:
Onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que , e é um escalar.

Passo 3

Primeiro, vamos escrever :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Então, o polinômio característico de é:

Passo 5

Agora vamos para a matriz :
O processo é o mesmo: calcular .

Passo 6

Primeiro, subtraímos da diagonal de :

Passo 7

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz . Para isso, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:

Passo 8

Vamos calcular cada um desses determinantes menores:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão do determinante:
Vamos distribuir e simplificar:
Primeiro, multiplicamos pelos termos dentro:

Passo 10

Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
Simplificando:
Então, o polinômio característico de é:

Resposta

O polinômio característico de é e de é .

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