Sejam as matrizes A=[rr2 & -1 -1 & 2] e B=[lll2 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2]. Para cada matriz: Determine o polinômio característico.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem duas matrizes, e , e precisa encontrar o polinômio característico de cada uma delas. O polinômio característico é importante porque nos ajuda a descobrir os autovalores da matriz, que são fundamentais em várias aplicações na matemática e na física. Para isso, vamos precisar usar determinantes e entender um pouquinho da teoria das matrizes.

Passo 2

Vamos começar com a matriz A = 2 & -1 -1 & 2 :
p(lambda) = det(A - lambda I)
O polinômio característico de uma matriz é dado por:
Onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que , e é um escalar.

Passo 3

Primeiro, vamos escrever A - lambda I = 2 - lambda & -1 -1 & 2 - lambda :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(2 - lambda) - (-1)(-1) = (2 - lambda)^2 - 1
Simplificando:
(2 - lambda)^2 - 1 = 4 - 4lambda + lambda^2 - 1 = lambda^2 - 4lambda + 3
Então, o polinômio característico de pA(lambda) = lambda^2 - 4lambda + 3 é:

Passo 5

Agora vamos para a matriz B = 2 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2 :
O processo é o mesmo: calcular .

Passo 6

Primeiro, subtraímos B - lambda I = 2 - lambda & 1 & 1 2 & 3 - lambda & 2 1 & 1 & 2 - lambda da diagonal de :

Passo 7

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(B - lambda I) = (2 - lambda) cdot det 3 - lambda & 2 1 & 2 - lambda - 1 cdot det 2 & 2 1 & 2 - lambda + 1 cdot det 2 & 3 - lambda 1 & 1 . Para isso, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:

Passo 8

Vamos calcular cada um desses determinantes menores:
  1. det 3 - lambda & 2 1 & 2 - lambda = (3 - lambda)(2 - lambda) - 2 cdot 1 = (6 - 5lambda + lambda^2) - 2 = lambda^2 - 5lambda + 4
  2. det 2 & 2 1 & 2 - lambda = 2(2 - lambda) - 2 cdot 1 = (4 - 2lambda) - 2 = -2lambda + 2
  3. det 2 & 3 - lambda 1 & 1 = 2 cdot 1 - (3 - lambda) cdot 1 = 2 - 3 + lambda = lambda - 1

Passo 9

Substituindo de volta na expressão do determinante:
det(B - lambda I) = (2 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 4) - 1(-2lambda + 2) + 1(lambda - 1)
Vamos distribuir e simplificar:
= (2 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 4) + 2lambda - 2 + lambda - 1
Primeiro, multiplicamos = 2lambda^2 - 10lambda + 8 - lambda^3 + 5lambda^2 - 4lambda + 2lambda - 2 + lambda - 1 pelos termos dentro:

Passo 10

Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
- lambda^3 + (2lambda^2 + 5lambda^2) + (-10lambda - 4lambda + 2lambda + lambda) + (8 - 2 - 1)
Simplificando:
- lambda^3 + 7lambda^2 - 11lambda + 5
Então, o polinômio característico de pB(lambda) = -lambda^3 + 7lambda^2 - 11lambda + 5 é:

Resposta

O polinômio característico de é e de é .

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