Sejam as matrizes e .
Sabendo-se que , calcule o valor .
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Fundamentos de Matemática Elementar, volume 4 -Gelson Iezzi e outros.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente tem três matrizes , e , e uma equação envolvendo uma quarta matriz . O objetivo é encontrar o determinante de . Para isso, vamos precisar entender como manipular equações com matrizes, multiplicação, inversão e cálculo de determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que a gente tem:
Nosso objetivo é isolar nessa equação para depois calcular seu determinante.

Passo 3

Vamos começar subtraindo de ambos os lados da equação para isolar o termo com :

Passo 4

Agora, para isolar , vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de à esquerda. Lembrando que , onde é a matriz identidade.
Simplificando:
Então:

Passo 5

Agora, precisamos calcular , a inversa de . A matriz é:
O determinante de é:
Então, a inversa de é:

Passo 6

Agora, vamos calcular . A matriz é:
Multiplicando por :

Passo 7

Agora, vamos calcular . A matriz é:
Multiplicando por :

Passo 8

Agora, substituindo e na expressão de :

Passo 9

Agora, temos , e queremos encontrar seu determinante . Primeiro, vamos escrever :
Para calcular o determinante de :
Calculando o determinante da matriz :
Então:

Resposta

O valor de é aproximadamente .

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