Sejam as matrizes A=(rr3 & 7 -1 & 2), C=(rr0 & 2 2 & -1) e D=(ll1 & 6 3 & 2).
Sabendo-se que A B+C=A D A^-1, calcule o valor de det B.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente tem três matrizes , e , e uma equação envolvendo uma quarta matriz . O objetivo é encontrar o determinante de . Para isso, vamos precisar entender como manipular equações com matrizes, multiplicação, inversão e cálculo de determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que a gente tem:
A B + C = A D A^-1
Nosso objetivo é isolar nessa equação para depois calcular seu determinante.

Passo 3

Vamos começar subtraindo A B = A D A^-1 - C de ambos os lados da equação para isolar o termo com :

Passo 4

Agora, para isolar A^-1 A B = A^-1 (A D A^-1 - C) , vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de I B = D A^-1 - A^-1 C à esquerda. Lembrando que B = D A^-1 - A^-1 C , onde é a matriz identidade.
Simplificando:
Então:

Passo 5

Agora, precisamos calcular A = 3 & 7 -1 & 2 , a inversa de det(A) = (3)(2) - (7)(-1) = 6 + 7 = 13 . A matriz A^-1 = 1det(A) 2 & -7 1 & 3 = 113 2 & -7 1 & 3 é:
O determinante de é:
Então, a inversa de é:

Passo 6

Agora, vamos calcular D = 1 & 6 3 & 2 . A matriz D A^-1 = 1 & 6 3 & 2 times 113 2 & -7 1 & 3 é:
D A^-1 = 113 (1)(2) + (6)(1) & (1)(-7) + (6)(3) (3)(2) + (2)(1) & (3)(-7) + (2)(3)
Multiplicando D A^-1 = 113 2 + 6 & -7 + 18 6 + 2 & -21 + 6 = 113 8 & 11 8 & -15 por :

Passo 7

Agora, vamos calcular C = 0 & 2 2 & -1 . A matriz A^-1 C = 113 2 & -7 1 & 3 times 0 & 2 2 & -1 é:
A^-1 C = 113 (2)(0) + (-7)(2) & (2)(2) + (-7)(-1) (1)(0) + (3)(2) & (1)(2) + (3)(-1)
Multiplicando A^-1 C = 113 0 -14 & 4 + 7 0 + 6 & 2 -3 = 113 -14 & 11 6 & -1 por :

Passo 8

Agora, substituindo B = 113 8 & 11 8 & -15 - 113 -14 & 11 6 & -1 e B = 113 ( 8 & 11 8 & -15 - -14 & 11 6 & -1 ) na expressão de B = 113 8 - (-14) & 11 - 11 8 -6 & -15 - (-1) :
B = 113 22 & 0 2 & -14

Passo 9

Agora, temos B = 113 22 & 0 2 & -14 , e queremos encontrar seu determinante det(B) = ( 113 )^2 det 22 & 0 2 & -14 . Primeiro, vamos escrever det 22 & 0 2 & -14 = (22)(-14) - (0)(2) = -308 - 0 = -308 :
det(B) = 1169 times (-308) = -308169 = -4424.333 approx -1.82
Para calcular o determinante de :
Calculando o determinante da matriz :
Então:

Resposta

O valor de é aproximadamente .

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