Utilize o Teste de Comparação com Limite para determinar se as séries convergem ou divergem. sumk=2^infty raizk+1k^2+2,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o Teste de Comparação com Limite para descobrir se a série converge ou diverge. Basicamente, estamos lidando com séries infinitas e queremos saber se a soma desses termos chega a um valor finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste de Comparação com Limite. Esse teste serve para comparar uma série complicada com uma série mais simples que a gente já conhece o comportamento. A ideia é calcular o limite do quociente entre os termos das duas séries quando tende ao infinito. Se esse limite for um número positivo e finito, as duas séries terão o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem.

Passo 3

Agora, precisamos escolher uma série de comparação que seja mais simples. Observando o termo da nossa série , podemos simplificar para aproximadamente . Então, vamos comparar com a série .

Passo 4

Vamos identificar a série de comparação: . Sabemos que essa é uma série p com . Para séries p, se , a série diverge, e se , a série converge. Como , nossa série de comparação diverge.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite do quociente entre os termos das duas séries:
L = limk to infty raizk+1k^2+21raizk = limk to infty raizk cdot raizk+1k^2+2
Simplificando o interior da raiz:
k+1k^2+2 = k(1 + 1k)k^2(1 + 2k^2) = 1 + 1kk(1 + 2k^2) approx 1k
Portanto:
L = limk to infty raizk cdot raiz1k = limk to infty raizk cdot 1raizk = limk to infty 1 = 1

Passo 6

Como o limite é um número positivo e finito, pelo Teste de Comparação com Limite, nossa série original tem o mesmo comportamento que a série de comparação . Já que a série de comparação diverge, nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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