Utilize o Teste de Comparação com Limite para determinar se as séries convergem ou divergem.
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o Teste de Comparação com Limite para descobrir se a série
converge ou diverge. Basicamente, estamos lidando com séries infinitas e queremos saber se a soma desses termos chega a um valor finito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste de Comparação com Limite. Esse teste serve para comparar uma série complicada com uma série mais simples que a gente já conhece o comportamento. A ideia é calcular o limite do quociente entre os termos das duas séries quando
tende ao infinito. Se esse limite for um número positivo e finito, as duas séries terão o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem.
Passo 3
Agora, precisamos escolher uma série de comparação que seja mais simples. Observando o termo da nossa série
, podemos simplificar para aproximadamente
. Então, vamos comparar com a série
.
Passo 4
Vamos identificar a série de comparação:
. Sabemos que essa é uma série p com
. Para séries p, se
, a série diverge, e se
, a série converge. Como
, nossa série de comparação diverge.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Simplificando o interior da raiz:
Portanto:
Passo 6
Como o limite
é um número positivo e finito, pelo Teste de Comparação com Limite, nossa série original
tem o mesmo comportamento que a série de comparação
. Já que a série de comparação diverge, nossa série também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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Usando argumentos similiares à demontração do Teste da Integral na aula, ou no livro, demonstre a proposição a seguir: seja uma série
convergente em que a sequência de termos positivos
é tal que
, com
positiva, contínua (portanto integrável) e descrescente, pelo menos, em
. Então, o resto
satisfaz a desigualdade:
Se
é série de termos positivos convergente, então, o que se pode dizer a respeito de
? Demonstre.
Sejam
, e
, números reais dados. Suponhamos que a série
convirja uniformemente em
, a função f. Verifique que