Se sum ak é série de termos positivos convergente, então, o que se pode dizer a respeito de sum akk ? Demonstre.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma série com termos positivos, sum ak, que está convergindo. A pergunta é: o que acontece com a série sum akk? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries convergentes e utilizar o Teste de Comparação.

Passo 2

Primeiro, como sum ak é convergente e todos os termos ak são positivos, sabemos que os termos individuais estão diminuindo e chegando a zero. Isso é uma propriedade básica das séries convergentes com termos positivos.

Passo 3

Agora, olhamos para a série sum akk. Note que cada termo dessa nova série é akk. Como k é sempre maior ou igual a 1, podemos dizer que:
akk <= ak
Isso porque dividir um número positivo por um número maior ou igual a 1 não aumenta o valor.

Passo 4

Aqui entra o Teste de Comparação. Esse teste diz que se você tem duas séries de termos positivos, e cada termo da segunda série é menor ou igual ao correspondente da primeira, e a primeira série converge, então a segunda também converge. No nosso caso:
  • sum ak converge (dado no enunciado).
  • akk <= ak para todo k.
Portanto, pelo Teste de Comparação, a série sum akk também converge.

Resposta

A série sum akk também é convergente.

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