Se é série de termos positivos convergente, então, o que se pode dizer a respeito de ? Demonstre.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma série com termos positivos, , que está convergindo. A pergunta é: o que acontece com a série ? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries convergentes e utilizar o Teste de Comparação.

Passo 2

Primeiro, como é convergente e todos os termos são positivos, sabemos que os termos individuais estão diminuindo e chegando a zero. Isso é uma propriedade básica das séries convergentes com termos positivos.

Passo 3

Agora, olhamos para a série . Note que cada termo dessa nova série é . Como é sempre maior ou igual a 1, podemos dizer que:
Isso porque dividir um número positivo por um número maior ou igual a 1 não aumenta o valor.

Passo 4

Aqui entra o Teste de Comparação. Esse teste diz que se você tem duas séries de termos positivos, e cada termo da segunda série é menor ou igual ao correspondente da primeira, e a primeira série converge, então a segunda também converge. No nosso caso:
  • converge (dado no enunciado).
  • para todo .
Portanto, pelo Teste de Comparação, a série também converge.

Resposta

A série também é convergente.

Exercícios relacionados

Utilize o Teste de Comparação com Limite para determinar se as séries convergem ou divergem. ,
Utilize o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem. ,
Sejam , e , números reais dados. Suponhamos que a série convirja uniformemente em , a função f. Verifique que
Verifique que a sequência não tende a zero.