Se
é série de termos positivos convergente, então, o que se pode dizer a respeito de
? Demonstre.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma série com termos positivos,
, que está convergindo. A pergunta é: o que acontece com a série
? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries convergentes e utilizar o Teste de Comparação.
Passo 2
Primeiro, como
é convergente e todos os termos
são positivos, sabemos que os termos individuais estão diminuindo e chegando a zero. Isso é uma propriedade básica das séries convergentes com termos positivos.
Passo 3
Agora, olhamos para a série
. Note que cada termo dessa nova série é
. Como
é sempre maior ou igual a 1, podemos dizer que:
Isso porque dividir um número positivo por um número maior ou igual a 1 não aumenta o valor.
Passo 4
Aqui entra o Teste de Comparação. Esse teste diz que se você tem duas séries de termos positivos, e cada termo da segunda série é menor ou igual ao correspondente da primeira, e a primeira série converge, então a segunda também converge. No nosso caso:
-
converge (dado no enunciado). -
para todo .
Portanto, pelo Teste de Comparação, a série
também converge.
Resposta
A série
também é convergente.
Exercícios relacionados
Utilize o Teste de Comparação com Limite para determinar se as séries convergem ou divergem.
,
Utilize o Teste de Comparação para determinar se as séries convergem ou divergem.
,
Sejam
, e
, números reais dados. Suponhamos que a série
convirja uniformemente em
, a função f. Verifique que
Verifique que a sequência
não tende a zero.