Sejam f(x) = a_n * x^n + a_{n-1} * x^(n-1) + a_1 * x^1 + a_0, a_0 em Z[x] e phi o homomorfismo do item (a).
Se p não divede a_n e varphi(f(x)) é irredutível sobre Zp[x], prove que f(x) é irredutível sobre Q

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um polinômio com coeficientes inteiros e um homomorfismo . A gente precisa provar que, se um primo não divide o coeficiente líder e a imagem de pelo homomorfismo é irredutível em (polinômios sobre os inteiros módulo ), então também é irredutível sobre (números racionais). Vamos usar conceitos de álgebra como homomorfismos, irreducibilidade e propriedades de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que é um homomorfismo. Basicamente, é uma função que mapeia coeficientes de para de forma que preserva as operações de adição e multiplicação. Nesse caso, é o polinômio resultado de reduzir cada coeficiente de módulo .

Passo 3

Agora, sabendo que não divide o coeficiente líder , isso significa que não é múltiplo de , ou seja, em . Isso é importante porque garante que o grau do polinômio não muda quando aplicamos .

Passo 4

O próximo passo é usar o Teorema de Dedekind, que nos diz que se a imagem de um polinômio através de um homomorfismo é irredutível em e o primo não divide o coeficiente líder, então o polinômio original é irredutível em . Basicamente, a irreducibilidade se “levanta” do módulo para os racionais.

Passo 5

Portanto, aplicando esse teorema ao nosso caso, já que é irredutível em e não divide , podemos concluir que o polinômio é irredutível sobre .

Resposta

Assim, mostramos que é irredutível sobre .

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