Sejam
e
o homomorfismo do item (a).
Se p não divede
e
é irredutível sobre
, prove que
é irredutível sobre
Se p não divede
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um polinômio
com coeficientes inteiros e um homomorfismo
. A gente precisa provar que, se um primo
não divide o coeficiente líder
e a imagem de
pelo homomorfismo
é irredutível em
(polinômios sobre os inteiros módulo
), então
também é irredutível sobre
(números racionais). Vamos usar conceitos de álgebra como homomorfismos, irreducibilidade e propriedades de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
é um homomorfismo. Basicamente,
é uma função que mapeia coeficientes de
para
de forma que preserva as operações de adição e multiplicação. Nesse caso,
é o polinômio resultado de reduzir cada coeficiente de
módulo
.
Passo 3
Agora, sabendo que
não divide o coeficiente líder
, isso significa que
não é múltiplo de
, ou seja,
em
. Isso é importante porque garante que o grau do polinômio não muda quando aplicamos
.
Passo 4
O próximo passo é usar o Teorema de Dedekind, que nos diz que se a imagem de um polinômio através de um homomorfismo é irredutível em
e o primo
não divide o coeficiente líder, então o polinômio original é irredutível em
. Basicamente, a irreducibilidade se “levanta” do módulo
para os racionais.
Passo 5
Portanto, aplicando esse teorema ao nosso caso, já que
é irredutível em
e
não divide
, podemos concluir que o polinômio
é irredutível sobre
.
Resposta
Assim, mostramos que
é irredutível sobre
.
Exercícios relacionados
Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. j) ( ) Seja K um corpo,
e
. Mostre
é raiz de
se, e somente se,
.
Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. i) ( ) Sejam
um corpo,
e
. Prove que se
é irredutível sobre
, então
é irredutível sobre
.
Use algum critério para discutir a redutibilidade ou irredutibilidade: a)
em
Use a regra da cadeia para achar
.
.