Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. j) ( ) Seja K um corpo,
e
. Mostre
é raiz de
se, e somente se,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a afirmação “α é raiz de f(x) se, e somente se, g(x) = x - α divide f(x)” é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar entender sobre polinômios em um corpo K, raízes de polinômios e divisibilidade de polinômios. Vamos usar conceitos básicos de álgebra para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa α ser uma raiz de f(x). Isso quer dizer que quando substituímos x por α no polinômio f(x), o resultado é zero. Em outras palavras:
Passo 3
Agora, vamos pensar no que significa g(x) = x - α dividir f(x). Se g(x) divide f(x), então existe um outro polinômio q(x) tal que:
Isso quer dizer que ao dividir f(x) por (x - α), o resto da divisão é zero.
Passo 4
Vamos agora mostrar que se α é raiz de f(x), então (x - α) divide f(x).
Assumindo que α é raiz de f(x), temos:
Pelo Teorema do Remanescente, sabemos que o resto da divisão de f(x) por (x - α) é exatamente f(α). Então, se f(α) = 0, o resto é zero, o que significa que (x - α) divide f(x).
Passo 5
Agora, vamos provar o contrário: se (x - α) divide f(x), então α é raiz de f(x).
Se (x - α) divide f(x), então existe um polinômio q(x) tal que:
Se substituirmos x por α nessa equação, teremos:
Portanto, f(α) = 0, ou seja, α é uma raiz de f(x).
Resposta
A afirmação é Verdadeira. α é raiz de f(x) se, e somente se, g(x) = x - α divide f(x).
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Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. i) ( ) Sejam
um corpo,
e
. Prove que se
é irredutível sobre
, então
é irredutível sobre
.
Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. h) ( ) Seja K um corpo. Se a
é irredutível então o seu inverso aditivo também é irredutível.
Sejam
e
o homomorfismo do item (a).
Se p não divede e
é irredutível sobre
, prove que
é irredutível sobre
Se p não divede
Use algum critério para discutir a redutibilidade ou irredutibilidade: a)
em