Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. i) ( ) Sejam um corpo, e . Prove que se é irredutível sobre , então é irredutível sobre .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corpo , dois elementos e em , e um polinômio com coeficientes em . A questão afirma que se é irredutível sobre , então também é irredutível sobre . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra sobre corpos e irredutibilidade de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um polinômio ser irredutível. Um polinômio em é irredutível sobre se ele não pode ser fatorado como o produto de dois polinômios de grau menor que o de com coeficientes em .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Aqui, estamos fazendo uma mudança de variável linear dentro do polinômio . Essa transformação é invertível se , o que é garantido já que é um corpo e, portanto, todo elemento não nulo tem inverso.

Passo 4

Como a transformação é invertível, ela estabelece uma correspondência biunívoca entre os polinômios e . Ou seja, se pode ser fatorado em , então também pode, e vice-versa.

Passo 5

Portanto, se é irredutível sobre , isso implica que não existe uma fatoração não trivial de em . Devido à correspondência biunívoca, isso significa que também não pode ser fatorado em , ou seja, é irredutível sobre .

Resposta

Verdadeiro (V).

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Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. j) ( ) Seja K um corpo, e . Mostre é raiz de se, e somente se, .
Sejam e o homomorfismo do item (a).
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