Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. i) ( ) Sejam
um corpo,
e
. Prove que se
é irredutível sobre
, então
é irredutível sobre
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corpo
, dois elementos
e
em
, e um polinômio
com coeficientes em
. A questão afirma que se
é irredutível sobre
, então
também é irredutível sobre
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra sobre corpos e irredutibilidade de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um polinômio ser irredutível. Um polinômio
em
é irredutível sobre
se ele não pode ser fatorado como o produto de dois polinômios de grau menor que o de
com coeficientes em
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Aqui, estamos fazendo uma mudança de variável linear dentro do polinômio
. Essa transformação é invertível se
, o que é garantido já que
é um corpo e, portanto, todo elemento não nulo tem inverso.
Passo 4
Como a transformação
é invertível, ela estabelece uma correspondência biunívoca entre os polinômios
e
. Ou seja, se
pode ser fatorado em
, então
também pode, e vice-versa.
Passo 5
Portanto, se
é irredutível sobre
, isso implica que não existe uma fatoração não trivial de
em
. Devido à correspondência biunívoca, isso significa que
também não pode ser fatorado em
, ou seja,
é irredutível sobre
.
Resposta
Verdadeiro (V).
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é irredutível então o seu inverso aditivo também é irredutível.
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é irredutível em
.
Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. j) ( ) Seja K um corpo,
e
. Mostre
é raiz de
se, e somente se,
.
Sejam
e
o homomorfismo do item (a).
Se p não divede e
é irredutível sobre
, prove que
é irredutível sobre
Se p não divede