y=[l3 1] e u=[l8 6]. Calcule a distância de y à reta contendo u e a origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, y = 3 1 e u = 8 6 . O objetivo é calcular a distância de y até a reta que passa pela origem e pela direção de u. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a fórmula para calcular a distância de um ponto a uma reta no espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular a distância de um ponto a uma reta que passa pela origem. Se temos um vetor u que define a direção da reta, a distância d do vetor y a essa reta é dada pela fórmula:
d = ||u times y||||u||
Aqui, “ times” representa o produto vetorial e ||cdot|| representa a norma (ou comprimento) do vetor.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial u times y. No caso de vetores bidimensionais, o produto vetorial resulta em um número escalar que podemos calcular assim:
u times y = u1 y2 - u2 y1
Substituindo os valores:
u times y = 8 cdot 1 - 6 cdot 3 = 8 - 18 = -10
O valor absoluto desse resultado é 10.

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma do vetor u. A fórmula para a norma de um vetor u = u1 u2 é:
||u|| = raizu1^2 + u2^2
Substituindo os valores:
||u|| = raiz8^2 + 6^2 = raiz64 + 36 = raiz100 = 10

Resposta

A distância de y à reta que contém u e a origem é 1 unidade.

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