Sejam P=(6,-7,4), Q=(k, 0, y2) e M=(1,7,16). Encontre os valores de k e y para os quais M seja o ponto médio de P e Q.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os valores de e de forma que o ponto seja o ponto médio entre os pontos e . Isso envolve usar a fórmula do ponto médio na geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do ponto médio. Se tivermos dois pontos M = ( x1 + x22, y1 + y22, z1 + z22 ) e , o ponto médio entre eles é dado por:
Isso significa que cada coordenada de é a média das coordenadas correspondentes de e .

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para cada coordenada.
Para a coordenada x:
6 + k2 = 1
Aqui, somamos as coordenadas x de e , dividimos por 2 e igualamos a coordenada x de .

Passo 4

Resolviendo a equação da coordenada x:
6 + k2 = 1 6 + k = 2 times 1 6 + k = 2 k = 2 - 6 k = -4
Então, .

Passo 5

Agora, vamos para a coordenada y:
-7 + 02 = 7
Isso significa que a média das coordenadas y de e deve ser igual à coordenada y de .

Passo 6

Resolvendo a equação da coordenada y:
-72 = 7 -3.5 = 7
Isso é uma contradição! Significa que não há valores de e que satisfaçam todas as coordenadas simultaneamente para que seja o ponto médio de e .

Resposta

Não existem valores de e que façam ser o ponto médio de e .

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