Sejam p, q e r números inteiros. Prove que: (a) Se 5p - 7 é ímpar, então 9p + 2 é par.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que, se é ímpar, então é par. Esse problema está relacionado ao estudo dos números inteiros e às suas propriedades de paridade (ou seja, se são pares ou ímpares). Para resolver, vamos utilizar conceitos básicos de aritmética e propriedades dos números pares e ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um número ser ímpar. Um número inteiro é ímpar se ele pode ser escrito na forma , onde é outro número inteiro. Então, se é ímpar, podemos expressá-lo assim:
onde é um inteiro.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação para encontrar uma relação para :
Perceba que, para ser inteiro, deve ser múltiplo de 5. Vamos representar como , onde é um inteiro:
Isso mostra que também é inteiro, mantendo a consistência da nossa suposição.

Passo 4

Agora que temos uma expressão para , vamos calcular :
Mas, como deve ser inteiro, e expressamos como , podemos reescrever como:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos analisar a expressão . Sabemos que é um número inteiro, então será múltiplo de 9, que é ímpar. Adicionando 2 a um número ímpar:
Í
Isso acontece porque um número ímpar mais um número par resulta em um número par.

Resposta

Portanto, provamos que se é ímpar, então é par.

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