Sejam
e
números inteiros. Prove que: (a) Se
é ímpar, então
é par.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar que, se
é ímpar, então
é par. Esse problema está relacionado ao estudo dos números inteiros e às suas propriedades de paridade (ou seja, se são pares ou ímpares). Para resolver, vamos utilizar conceitos básicos de aritmética e propriedades dos números pares e ímpares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um número ser ímpar. Um número inteiro é ímpar se ele pode ser escrito na forma
, onde
é outro número inteiro. Então, se
é ímpar, podemos expressá-lo assim:
onde
é um inteiro.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação para encontrar uma relação para
:
Perceba que, para
ser inteiro,
deve ser múltiplo de 5. Vamos representar
como
, onde
é um inteiro:
Isso mostra que
também é inteiro, mantendo a consistência da nossa suposição.
Passo 4
Agora que temos uma expressão para
, vamos calcular
:
Mas, como
deve ser inteiro, e expressamos
como
, podemos reescrever
como:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos analisar a expressão
. Sabemos que
é um número inteiro, então
será múltiplo de 9, que é ímpar. Adicionando 2 a um número ímpar:
Isso acontece porque um número ímpar mais um número par resulta em um número par.
Resposta
Portanto, provamos que se
é ímpar, então
é par.
Exercícios relacionados
Sejam
. Determine a fórmula para cada função abaixo h)
Sejam
e
números inteiros. Para as conjecturas abaixo, prove as verdadeiras e mostra contraexemplo para as falsas. (b) Se
é par, então
é par.