Sejam , e
Demonstre que esses quatro pontos são coplanares, mas não colineares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente tem quatro pontos no espaço tridimensional: , , e . O objetivo é mostrar que esses quatro pontos estão todos no mesmo plano (são coplanares) mas que não estão todos alinhados numa única reta (não são colineares). Para isso, vamos usar conceitos de vetores e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa os pontos serem coplanares. Quatro pontos são coplanares se existir um plano que passa por todos eles. Isso acontece se o volume do paralelepípedo formado por três vetores que saem de um dos pontos for zero. Esse volume pode ser calculado usando o determinante de uma matriz formada por esses vetores.

Passo 3

Vamos escolher como ponto de partida e formar três vetores:

Passo 4

Agora, vamos montar uma matriz com esses três vetores:
O determinante dessa matriz vai nos ajudar a saber se o volume é zero.

Passo 5

Calculando o determinante:
Como o determinante é zero, o volume do paralelepípedo é zero, o que significa que os quatro pontos são coplanares.

Passo 6

Agora, vamos verificar se os pontos são colineares. Para isso, precisamos ver se os vetores , e são todos múltiplos uns dos outros. Olhando para os vetores:
Observamos que e , mas e não são múltiplos exatos um do outro, já que multiplicar por um único escalar não resulta exatamente em . Portanto, os pontos não estão todos na mesma reta.

Resposta

Os quatro pontos são coplanares porque o volume do paralelepípedo formado por seus vetores é zero, mas não são colineares, já que os vetores não são múltiplos uns dos outros. Assim, os pontos estão todos no mesmo plano, mas não em uma única reta.

Exercícios relacionados

Sejam , e
Escreva o vetor como combinação linear dos vetores e .
Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
a) , então .
b) Se é uma matriz triangular superior e existe, então também será uma matriz triangular superior.
c) Se é uma matriz tal que , então é invertível.
d) Sejam e duas matrizes . Então .
e) Se , então .
Seja a equação de um plano que não passa pela origem e corta os três eixos.
Ache o ponto de interseção do plano com os eixos.
Suponha que . Se e , mostre que e .