Sejam os pontos e . Determine o ângulo entre os vetores e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos os pontos , , e . A tarefa é descobrir o ângulo entre os vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especificamente o produto escalar e as normas dos vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir quais são os vetores e . Geralmente, quando tem vários pontos, escolhemos vetores que partem do mesmo ponto para facilitar os cálculos. Vamos assumir que:
  • é o vetor que vai de para .
  • é o vetor que vai de para .

Passo 3

Agora, vamos calcular as componentes de cada vetor subtraindo as coordenadas dos pontos de partida das coordenadas de chegada.

Passo 4

Para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as normas (ou comprimentos) dos vetores.
  • é o ângulo entre eles.
Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 5

Primeiro, calculamos o produto escalar :

Passo 6

Agora, vamos calcular as normas dos vetores:

Passo 7

Com os valores do produto escalar e das normas, substituímos na fórmula para encontrar :
Simplificando :
Então:
Agora, aplicamos a função arco cosseno para encontrar o ângulo :

Resposta

O ��ngulo entre os vetores e é de aproximadamente .

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(a) Dados os vetores e . Calcule .
Calcule o produto vetorial de: e
Encontre , sendo: e
Calcule o produto vetorial de: e