Sejam os pontos
e
. Determine o ângulo entre os vetores
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos os pontos
,
,
e
. A tarefa é descobrir o ângulo entre os vetores
e
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especificamente o produto escalar e as normas dos vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos definir quais são os vetores
e
. Geralmente, quando tem vários pontos, escolhemos vetores que partem do mesmo ponto para facilitar os cálculos. Vamos assumir que:
-
é o vetor que vai de para . -
é o vetor que vai de para .
Passo 3
Agora, vamos calcular as componentes de cada vetor subtraindo as coordenadas dos pontos de partida das coordenadas de chegada.
Passo 4
Para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
Onde:
-
é o produto escalar dos vetores. -
e são as normas (ou comprimentos) dos vetores. -
é o ângulo entre eles.
Vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 5
Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Passo 6
Agora, vamos calcular as normas dos vetores:
Passo 7
Com os valores do produto escalar e das normas, substituímos na fórmula para encontrar
:
Simplificando
:
Então:
Agora, aplicamos a função arco cosseno para encontrar o ângulo
:
Resposta
O ��ngulo entre os vetores
e
é de aproximadamente
.
Exercícios relacionados
(a) Dados os vetores
e
. Calcule
.
Calcule o produto vetorial de:
e
Encontre
, sendo:
e
Calcule o produto vetorial de:
e