Para
, defina a relação
(i) Mostre que a relação
é de equivalência.
(ii) A soma de
com respeito a relação
é definida por
, onde
é o resto da divisão de
por
. Se a soma
for um número muito grande, qual a utilidade de usar
em computadores?
(i) Mostre que a relação
(ii) A soma de
Passo 1
Beleza, vamos destrinchar o que o exercício tá pedindo. Temos que trabalhar com números inteiros
e
, e uma relação chamada congruência módulo 4, que basicamente diz que
e
deixam o mesmo resto quando divididos por 4. A gente precisa mostrar que essa relação é uma equivalência, ou seja, que ela é reflexiva, simétrica e transitiva. Além disso, a segunda parte quer saber por que usar essa congruência é útil em computadores quando lidamos com números grandes.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a relação
é reflexiva. Isso significa que qualquer número
está relacionado a si mesmo. Simplificando:
, e 0 é múltiplo de 4 (
). Então,
sempre é verdadeiro.
Passo 3
Agora, vamos provar que a relação é simétrica. Ou seja, se
, então
. Se
, então
, que também é múltiplo de 4. Portanto, a relação é simétrica.
Passo 4
Por último, precisamos mostrar que a relação é transitiva. Se
e
, então
. Sabemos que
e
. Somando as duas equações, temos
, que é múltiplo de 4. Logo,
.
Passo 5
Então, concluindo a parte (i), a relação
é simétrica, reflexiva e transitiva, ou seja, é uma relação de equivalência.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (ii). A soma
pode ser um número muito grande, e nas computadoras, lidar com números grandes pode ser custoso em termos de memória e processamento. Usar
significa que estamos interessados apenas no resto dessa soma quando dividida por
.
Passo 7
Isso é útil porque, ao invés de armazenar ou processar o número inteiro
, o computador pode simplesmente armazenar o resto
, que é um número menor e mais fácil de manipular. Isso economiza recursos e torna os cálculos mais rápidos, especialmente em aplicações como criptografia, onde operações modulares são frequentes.
Passo 8
Além disso, trabalhar com restos permite que os computadores realizem operações de forma mais eficiente, mantendo a precisão e evitando estouros de memória que poderiam ocorrer com números muito grandes.
Resposta
(i) A relação
é uma relação de equivalência porque é reflexiva, simétrica e transitiva.
(ii) Usar permite que computadores trabalhem com restos menores em vez de números muito grandes, economizando memória e aumentando a eficiência dos cálculos.
(ii) Usar