Para x, y em Z, defina a relação x ≡ y (mod 4) ↔ x - y = 4q
(i) Mostre que a relação x ≡ y (mod 4) é de equivalência.
(ii) A soma de x + y com respeito a relação mod n é definida por (x + y) ≡ r (mod n), onde r é o resto da divisão de (x+y) por n. Se a soma x + y for um número muito grande, qual a utilidade de usar (x + y) ≡ r (mod n) em computadores?

Passo 1

Beleza, vamos destrinchar o que o exercício tá pedindo. Temos que trabalhar com números inteiros e , e uma relação chamada congruência módulo 4, que basicamente diz que e deixam o mesmo resto quando divididos por 4. A gente precisa mostrar que essa relação é uma equivalência, ou seja, que ela é reflexiva, simétrica e transitiva. Além disso, a segunda parte quer saber por que usar essa congruência é útil em computadores quando lidamos com números grandes.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a relação é reflexiva. Isso significa que qualquer número está relacionado a si mesmo. Simplificando: , e 0 é múltiplo de 4 ( ). Então, sempre é verdadeiro.

Passo 3

Agora, vamos provar que a relação é simétrica. Ou seja, se , então . Se , então , que também é múltiplo de 4. Portanto, a relação é simétrica.

Passo 4

Por último, precisamos mostrar que a relação é transitiva. Se e , então . Sabemos que e . Somando as duas equações, temos , que é múltiplo de 4. Logo, .

Passo 5

Então, concluindo a parte (i), a relação é simétrica, reflexiva e transitiva, ou seja, é uma relação de equivalência.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (ii). A soma pode ser um número muito grande, e nas computadoras, lidar com números grandes pode ser custoso em termos de memória e processamento. Usar significa que estamos interessados apenas no resto dessa soma quando dividida por .

Passo 7

Isso é útil porque, ao invés de armazenar ou processar o número inteiro , o computador pode simplesmente armazenar o resto , que é um número menor e mais fácil de manipular. Isso economiza recursos e torna os cálculos mais rápidos, especialmente em aplicações como criptografia, onde operações modulares são frequentes.

Passo 8

Além disso, trabalhar com restos permite que os computadores realizem operações de forma mais eficiente, mantendo a precisão e evitando estouros de memória que poderiam ocorrer com números muito grandes.

Resposta

(i) A relação é uma relação de equivalência porque é reflexiva, simétrica e transitiva.
(ii) Usar permite que computadores trabalhem com restos menores em vez de números muito grandes, economizando memória e aumentando a eficiência dos cálculos.

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